Control

Ecuaciones Diferenciales y de Diferencia
Oscar Duarte Facultad de Ingenier´a ı Universidad Nacional de Colombia

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Ecuaciones Diferenciales
Igualdades que incluyen derivadas dx = 2x(t) dt

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Ecuaciones Diferenciales
Igualdades que incluyen derivadas dx = 2x(t) dt La solución de una Ecuación Diferencial es una función f (t) t ∈ R

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EcuacionesDiferenciales
Igualdades que incluyen derivadas dx = 2x(t) dt La solución de una Ecuación Diferencial es una función f (t) t ∈ R f1(t) = e2t f2(t) = 2e2t f3(t) = 3e2t

– p.2/79

Ecuaciones Diferenciales
Igualdades que incluyen derivadas dx = 2x(t) dt La solución de una Ecuación Diferencial es una función f (t) t ∈ R f1(t) = e2t f2(t) = 2e2t f3(t) = 3e2t

Condiciones Auxiliares ... ˙(0), f (0), f (0),· · · , f (n)(0) ¨ f (0), f

– p.2/79

Tiempo Discreto
La variable que mide el tiempo (k) varía discretamente .
•

k = 1, 2, 3, · · ·

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Tiempo Discreto
La variable que mide el tiempo (k) varía discretamente .
• •

k = 1, 2, 3, · · · k = T, 2T, 3T, · · · T ∈ R

– p.3/79

Tiempo Discreto
La variable que mide el tiempo (k) varía discretamente .
• • •

k = 1, 2, 3,· · · k = T, 2T, 3T, · · · T ∈ R k = k 1 , k2 , k3 , · · ·

– p.3/79

Tiempo Discreto
La variable que mide el tiempo (k) varía discretamente .
• • •

k = 1, 2, 3, · · · k = T, 2T, 3T, · · · T ∈ R k = k 1 , k2 , k3 , · · · x(k) x(k + 1) x(k − 1)

– p.3/79

Ecuaciones de Diferencias
Igualdades que incluyen diferencias x(k + 1) = 2x(k)

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Ecuaciones de DiferenciasIgualdades que incluyen diferencias x(k + 1) = 2x(k) La solución de una Ecuación Diferencial es una función f (k) k ∈ Z

– p.4/79

Ecuaciones de Diferencias
Igualdades que incluyen diferencias x(k + 1) = 2x(k) La solución de una Ecuación Diferencial es una función f (k) k ∈ Z f1(k) = 2
k

f2 (k) = 2(2 )

k

f3(k) = 3(2

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Ecuaciones de Diferencias
Igualdades que incluyendiferencias x(k + 1) = 2x(k) La solución de una Ecuación Diferencial es una función f (k) k ∈ Z f1(k) = 2
k

f2 (k) = 2(2 )

k

f3(k) = 3(2

Condiciones Auxiliares f (0), f (1), f (2), f (3), · · · , f (n)

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Comparación
Ecuaciones renciales derivadas t∈R f (t) t ∈ R C.I. y(0), y(0), y (0), · · · ˙ ¨ Dife- Ecuaciones de Diferencia diferencias finitas. k ∈ Z. f (k) k ∈ Z C.I. y(0),y(1), y(2), · · ·

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ED Lineales. Coeficientes constantes
dy n an dtn dum bm dtm

+ ···+

dy a1 dt

+ a0 y(t) =

+ · · · + b1 du + b0 u(t) dt

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ED Lineales. Coeficientes constantes
dy n an dtn dum bm dtm

+ ···+

dy a1 dt

+ a0 y(t) =

+ · · · + b1 du + b0 u(t) dt

an y(k + n) + · · · + a1 y(k + 1) + a0 y(k) =

bmu(k + m) + · · · + b1u(k + 1) +b0u(k)

– p.6/79

Métodos de solución de E.D. Lineales
La solución de una E.D. lineal tiene dos componentes: ycompleta (t) = yhomog´nea (t) + yparticular (t) e y(t) = yh (t) + yp(t)

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Métodos de solución de E.D. Lineales
La solución de una E.D. lineal tiene dos componentes: ycompleta (t) = yhomog´nea (t) + yparticular (t) e y(t) = yh (t) + yp(t) En el caso discreto ycompleta(k) =yhomog´nea (k) + yparticular (k) e y(k) = yh (k) + yp(k)

– p.7/79

Un Procedimiento “tortuoso”
1. Obtener la solución homogénea; aparecen coeficientes desconocidos

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Un Procedimiento “tortuoso”
1. Obtener la solución homogénea; aparecen coeficientes desconocidos 2. Obtener una solución particular yp(·).

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Un Procedimiento “tortuoso”
1. Obtener la soluciónhomogénea; aparecen coeficientes desconocidos 2. Obtener una solución particular yp(·). 3. Construir la respuesta completa y(·) = yh (·) + yp(·), remplazar las condiciones iniciales, y obtener los coeficientes desconocidos

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La solución de la homogénea
La ecuación homogénea está igualada a 0

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La solución de la homogénea
La ecuación homogénea está igualada a 0 1. Se escribe...