control
espacio de estados.
Marcos S. López Salas
October 1, 2014
B.12.3
Sea el sistema definido por
x ˙=Ax + Bu
donde
0
A= 0
−1
1
0
−5
0
0
1 , B = 1
−6
1
Usando el control mediante realimentacion del estado u = −Kx, se desea
tener los polos en lazo cerrado en s = −s ± j4, s = −10. Determine la matriz
deganancias de realimentación del estado K.
Solución
Primero se necesita comprobar la matriz de controlabilidad del sistema. Como
la matriz de controlabilidad M está dada por
0
1
0
0
10
1 1 = 1
AB = 0
−1 −5 −6
1
−11
0
A2 B = 0
−1
1
0
−5
0
1
1
1 1 = −11
−6
−11
60
0
M = [B AB A2 B] = 1
1
1
1
1
−11
1−11
60
|M| = −83
Así, el sistema es de estado completamente controlable y es posible la colocación arbitraria de los polos.
Métod 1.
s
|sI − A| = 0
0
0
0
0 − 0
s−1
0
s
0
0
s
1 = 0
−6
1
1
0
−5
−1
s
5
0
−1
s+6
= s3 + 6s2 5s + 1
por lo tanto
a1 = 6, a2 = 5 a3 = 1
La ecuacion característica deseada es
(s + 2 − j4)(s + 2+ j4)(s + 10) = 0
s3 + 2s2 − 4s2 + 10s2 + 20s − j4(10s) + 2s2 + 4s − j4(2s) + 20s + 40
−j4(20) + j4s2 + j4(j4s) + 4(10s) + j4(20) − (j40)(j4) = 0
s3 + 14s2 + 60 + 200 = 0
Así
α1 = 14, α2 = 60, α3= 200
a2
W = a1
1
0
T= 1
1
1
1
−11
T = MW
a1 1
5
1 0 = 6
0 0
1
1
5
−11 6
60
1
6
1
0
6
1
0
1
0
0
1
7
0 = 0
0−1
K = |α3 − a3 α2 − a2 α1 − a1 | T−1
0.1446 −0.0120
K = [200 − 1 60 − 5 14 − 6] −0.0120 0.0843
0.0843
0.4096
K=
28.7831
5.5181
2
2.4819
1 0
7 1
−5 1
0.0120−0.0843
0.5904
Método 2
Definiendo la matriz de ganancias de realimentación del estado Kdeseada como
K=
k1
k2
k3
e igualando |sI − A + BK|con la ecuación carácteristica deseada,...
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