control

Lugar Geométrico de las Raíces / Diseño de Controladores
1. Lugar Geométrico de las Raíces.
 Este método permite estudiar la estabilidad del sistema al variar un parámetro del
mismo. En este caso se encontrará un rango de estabilidad o los valores de la ganancia
K que hacen que el sistema sea estable.
 Permite observar como se mueven los polos de lazo cerrado ante las variaciones de laganancia del sistema.
 La forma de construción del LGR para sistemas continuos, permite determinar la región
de estabilidad límitada por el eje jω.
 Se basa en la ecuación característica y la función de transferencia de lazo abierto del
sistema:
Condición de Módulo.

Q( s ) 1  G ( s ) H ( s ) 0
Condición de Angulo.

Prof. Marly Fernández

Teoria de Control

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1. Lugar Geométrico de las Raíces.
 Los valores de s que cumplan la condición de ángulo para K variable definen el lugar
geométrico de las raíces o polos del sistema en lazo cerrado.
 La aplicación de la condición de magnitud para una K determinada define los polos
específicos del sistema en lazo cerrado.
 Para que si pertenezca al LGR debe cumplirlas
condiciones modular y angular:
Condición Modular

1  1   2 180 (2l  1)

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Condición Angular

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1. Lugar Geométrico de las Raíces.
 El rango de estabilidad del sistema queda determinado al variar K desde 0 hasta
infinito y observando el cruce del lugar de las raíces conel eje jw. En este punto se
encuentra la ganancia crítica del sistema, Kcritica, es decir, el punto donde el sistema
se vuelve críticamente estable .

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1. Lugar Geométrico de las Raíces.
 Reglas para construir el L.G.R.
a. Localizar los polos y ceros de la función de transferencia delazo abierto sobre el eje real.
b. El L.G.R. existe sobre el eje real en aquellos tramos donde el número de polos (Np) y
ceros (Nz) a la derecha de un punto de prueba es impar.
c. El número de ramas es igual al número de polos de GH(s).
d. El L.G.R. comienza en los polos para K=0 y termina en los ceros para K=∞.
e. El L.G.R. es simétrico con respecto al eje real.
f. El número de asíntotases igual a Np-Nz, con ángulos:

 (2q  1)



q= 0,1,2…

Np  Nz
g. Los puntos de ruptura o separación están dados por:
Np

1  Nz  1 
   

 
i 1   pi  j 1   zi 
h. Los cortes con el eje imaginario se pueden calcular sustituyendo s=jw en la ecuación
característica del sistema.
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2. Compensación.
Ajustes que se realizan a los sistemas para cumplir con los requerimientos satisfactorios del
mismo. Estos ajustes se traducen en la inclusión de un compensador, el cual modifica la
respuesta del sistema.

Compensador en Serie

M (s) 

Y (s)
Gc ( s ) G ( s )

R ( s ) 1  Gc ( s )G ( s )

Q( s) 1  Gc( s)G ( s ) 0
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Ecuación Característica
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3.

Compensador de Adelanto de Fase.
Cuando el sistema es inestable para todo K o estable con características de la respuesta
transitoria no deseables, se modifica el sistema insertando un compensador de adelanto de
fase en serie con la planta.
 Ventajas:
a. Mejoran lascaracteríticas a frecuencias altas
b. Mejoran los márgenes de estabilidad
c. Aumenta el ancho de banda, lo que hace al sistema más rápido
 Desventajas:
a. Los problemas de ruído en frecuencias altas se acentúan.
1.5

ImS

S

1
0.5

-1.5

-1

X

-0.5

0

Gc ( s ) Kc
ReS
0

0.5

1

1.5

sz
s p

z  p

-0.5
-1
-1.5
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