Control2 L8 Pauta

´
MAT 112 - Algebra
I
Pauta Control N◦ 2
Lunes 20 de abril,2015.
Tiempo: 70 minutos.
Sin consultas.
Justifique sus respuestas.

Nombre................................................................. Secci´
on .................................

PREGUNTA

´
PUNTAJE MAXIMO

1

6

2

3+3

TOTAL

12

PUNTOS OBTENIDOS

NOTA

Atenci´
on:
-Cada respuesta debe ser justificada con claridad.
-Durante eldesarrollo de la prueba no se responde ning´
un tipo de pregunta.
-El alumno que sea sorprendido usando o intentando utilizar procedimientos il´ıcitos durante el
desarrollo de la prueba, ser´acalificado con la nota m´ınima (1.0) en dicha prueba.

1. Demuestre mediante inducci´on que la siguiente proposici´on es v´alida para todo n ∈ N.
1 3 5
2n − 1
n2
+ + +···+
=
2 2 2
2
2
Demostraci´
on: Seap(n) =

2n − 1
1 3 5
+ + +···+
2 2 2
2

Paso 1. Para n = 1 tenemos,
1
12
= .
2
2
Por lo tanto, la propiedad es v´alida para n = 1.
1 3 5
2k − 1
k2
Paso 2. Consideramos que p(k) = + + + · · · +
=
esverdadero.
2 2 2
2
2
2k − 1 2(k + 1) − 1
(k + 1)2
1 3 5
+
=
Paso 3. Demostramos que: p(k + 1) = + + + · · · +
2 2 2
2
2
2
es verdadero:
Usando paso 2 (la hip´otesis inductiva), tenemos
p(1) =

1 3 5
2k − 12(k + 1) − 1
2(k + 1) − 1
+ + +···+
+
= p(k) +
.
2 2 2
2
2
2
Entonces
p(k + 1) =

(k + 1)2
k 2 2(k + 1) − 1
+
=
.
2
2
2

Entonces, seg´
un inducci´on, p(n) es verdadero para todo n ∈ N.
1 punto.Comprobar que la propiedad es v´alida para n = 1.
2 puntos. Reconocer la hip´otesis inductiva.
3 puntos. Demostrar que p(k + 1) es verdadero aplicando correctamente la hip´otesis
inductiva.

2.

a)Exprese en notaci´on de sumatoria la siguiente suma:
3 · 12 + 3 · 22 + 3 · 32 + · · · + 3 · (42)2
y luego calcule la sumatoria aplicando propiedades.
Desarrollo:
Se tiene que
42

3 · 12 + 3 · 22 + 3 · 32 +· · · + 3 · (42)2 =

3i2 .
i=1

Luego, aplicando propiedades obtenemos:
42

42
2

i =3·

3i = 3
i=1

2

42 · 43
2

2

i=1

.

1 punto. Escribir como sumatoria.
1 punto. Dejar fuera la constante en...