Control2 W4 Pauta

´
MAT 112 - Algebra
I
Pauta Control N◦ 2
Miercoles 22 de abril,2015.
Tiempo: 70 minutos.
Sin consultas.
Justifique sus respuestas.

Nombre................................................................. Secci´
on .................................

PREGUNTA

´
PUNTAJE MAXIMO

1

6

2

3+3

TOTAL

12

PUNTOS OBTENIDOS

NOTA

Atenci´
on:
-Cada respuesta debe ser justificada con claridad.
-Duranteel desarrollo de la prueba no se responde ning´
un tipo de pregunta.
-El alumno que sea sorprendido usando o intentando utilizar procedimientos il´ıcitos durante el
desarrollo de la prueba, ser´acalificado con la nota m´ınima (1.0) en dicha prueba.

1. Demuestre mediante inducci´on que la siguiente proposici´on es v´alida para todo n ∈ N.
1 · 2 + 2 · 3 + · · · + n(n + 1) =

n(n + 1)(n + 2)
3Demostraci´
on:
Sea p(n) = 1 · 2 + 2 · 3 + · · · + n(n + 1)
Paso 1. Para n = 1 tenemos,
p(1) = 1 · 2 =

1(1 + 1)(1 + 2)
3

Por lo tanto, la propiedad es v´alida para n = 1.
Paso 2. Consideramos que p(k)= 1 · 2 + 2 · 3 + · · · + k(k + 1) =
verdadero.

k(k + 1)(k + 2)
es
3

Paso 3. Demostramos que:
p(k + 1) = 1 · 2 + 2 · 3 + · · · + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) =

(k + 1)(k + 2)(k + 3)
3

es verdadero:Usando paso 2 (la hip´otesis inductiva), tenemos
1 · 2 + 2 · 3 + · · · + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) = p(k) + (k + 1)(k + 2).
Entonces
p(k + 1) =

(k + 1)(k + 2)(k + 3)
k(k + 1)(k + 2)
+ (k + 1)(k + 2)=
.
3
3

Entonces, seg´
un inducci´on, p(n) es verdadero para todo n ∈ N.
1 punto. Comprobar que la propiedad es v´alida para n = 1.
2 puntos. Reconocer la hip´otesis inductiva.
3 puntos. Demostrarque p(k + 1) es verdadero aplicando correctamente la hip´otesis
inductiva.

2.

a) Exprese en notaci´on de sumatoria la siguiente suma:
2 · 13 + 2 · 23 + 2 · 33 + · · · + 2(45)3
y luego calcule lasumatoria aplicando propiedades.
Desarrollo:
Se tiene que
45

2 · 13 + 2 · 23 + 2 · 33 + · · · + 2(45)3 =

2 · i3 .
i=1

Luego, aplicando propiedades obtenemos:
45

45
3

i =2·

2·i =2
i=1

45 · 46
2...