control3

Sistemas y Ecs Diferenciales Lineales: Pauta Control 3
Ayud: Jorge Ar´evalo Labarca
1. Resolver la ecuaci´
on y + tan(x)y − 6 cot2 (x)y = 0 si sesabe que y1 (x) = sin3 (x) es soluci´on de
la ecuaci´
on.
Soluci´
on: Debemos hallar una segunda soluci´on tal que junto a y1 forme un conjuntofundamental
de soluciones (l.i.). Tal soluci´
on est´a dada por
y2 (x) = y1 (x)

e−

tan(x)dx

y12 (x)

dx

Es decir, tenemos que
y2 (x) = sin3 (x)

e−tan(x)dx
dx = sin3 (x)
sin6 (x)

cos(x)
dx
sin6 (x)

Haciendo el cambio de variables sin(x) = u, obtenemos
1
1
du = − cosec2 (x)
6
u
5

y2 (x) = sin3(x)
Luego, la soluci´
on general de la ecuaci´on es

y(x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) = c1 sin3 (x) + c2 cosec2 (x)
Observe que no es necesarioescribir la constante de y2 pues ´esta est´a contenida en c2 .
2. Resolver la ecuacion diferencial y − 2y + 10y = 2x2 + 2x − 8
Soluci´
on: Recuerde que lasoluci´
on general de una ecuaci´on no homog´enea es y = yh + yp .
Primero resolveremos la ecuaci´
on homog´enea asociada.
El polinomiocaracter´ıstico de la ecuaci´on es m2 − 2m + 10 = 0, cuyas ra´ıces son 1 ± 3i. Luego,
yh (x) = c1 ex cos(x) + c2 ex sin(x)
Por otro lado, consideramos yp (x) =ax2 + bx + c como soluci´on particular. Derivando esta
soluci´
on y reemplazando en la ecuaci´on, obtenemos
x2 (10a) + x(10b − 4a) + 2a − 2b + 10c =2x2 + 2x − 8,
de donde a = 51 , b =
Por lo tanto,

7
25

98
y c = − 125

y(x) = c1 ex cos(x) + c2 ex sin(x) + 15 x2 +

1

7
25 x

−

98
125 ,