Controlabilidad y observabilidad

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA UNIDAD ZACATENCO

RODRIGUEZ RODRIGUEZ MITZY CORAL RUBIO LOPEZ EDSON ROBERTO RODRIGUEZ MARTINEZ NAYELY ANAIS
7AM2
“Controlabilidad y Observabilidad”
LABORATORIO TEORIA DE CONTROL III

INSTITUTO POLITECNICO NACIONALESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA UNIDAD ZACATENCO

RODRIGUEZ RODRIGUEZ MITZY CORAL RUBIO LOPEZ EDSON ROBERTO RODRIGUEZ MARTINEZ NAYELY ANAIS
7AM2
“Controlabilidad y Observabilidad”
LABORATORIO TEORIA DE CONTROL III

Objetivo
El alumno podrá realizar el análisis de Controlabilidad y Observabilidad de cualquier sistema con ayuda de Matlab, de estaforma se podrán interpretar los resultados que este sistema devuelve, siendo de gran ayuda en la industria por el ahorro considerable de tiempo.
Marco Teórico
CONTROLABILIDAD

Se dice que un sistema es controlable en el instante t0 si es posible llevarlo de cualquier
estado inicial x(to) a cualquier otro estado, empleando un vector de control no acotado, en un lapso finito. Se dice que unsistema es observable en el tiempo t si, con el sistema en el estado x(t), es posible determinar dicho estado a partir de las mediciones de la salida con un retaso finito de tiempo.
El trabajo pionero de R. Kalman en el año de 1960 introdujo los conceptos de Controlabilidad y de Observabilidad, que juegan un papel fundamental en el diseño de los
sistemas de control usando las técnicas de estadoespacio. En efecto, las condiciones de
Controlabilidad y de Observabilidad determinan la existencia de una solución completa para el problema del diseño de un sistema de control. Tal vez no exista una solución a este problema si el sistema estudiado es no controlable. Aunque la mayoría de los sistemas físicos son controlables y observables, los modelos matemáticos correspondientes pueden no tenerla propiedad de Controlabilidad o de Observabilidad.

Controlabilidad completa del estado para sistemas en tiempo continuo

Consideremos al sistema en tiempo continuo:

Se dice que el sistema dado por la ecuación anterior es de estado controlable en t = t0 si
es posible construir r señales de control sin restricción alguna que transfieran un estado inicial a cualquier otro estado finito enun intervalo de tiempo finito t0 ≤ t ≤ t1 Si todos los estados son controlables, se dice que el sistema es de estado completamente controlable.
Ahora obtendremos la condición para una Controlabilidad completa del estado. Sin perder la generalidad, suponemos que el estado final es el origen en el espacio de estados y que el tiempo inicial es cero, o t0 = 0.

OBSERVABILIDAD
Analizaremos ahora laObservabilidad de los sistemas lineales. Consideremos el sistema sin excitación descrito por las ecuaciones siguientes:

Se dice que el sistema es completamente observable si el estado x(t ) se determina a partir de la medición de y(t) durante un intervalo de tiempo finito t0 ≤ t ≤ t1. Por tanto el
sistema es completamente observable si todas las transiciones de estado afectan eventualmente atodos los elementos del vector de salida. El concepto de Observabilidad es útil al resolver el problema de reconstruir señales o variables de estado no medibles a partir de variables que si son medibles en un tiempo lo menor posible. En estas notas trataremos con sistemas lineales e invariantes en el tiempo; por lo que sin perder generalidad supondremos que t0 es 0. El concepto de Observabilidades muy importante porque, en el terreno práctico, la dificultad que se encuentra con el control mediante retroalimentación del estado es que algunas variables de estado no son asequibles para una medición directa , por lo que se hace necesario estimar las variables de estado no medibles para formar las señales de control. Más adelante se demostrará que tales estimaciones de las variables de...