Controlador

CAPÍTULO 4. Diseño del controlador

Tomando como base a la figura 1.1, hasta este punto sólo se han analizado tres de los cinco bloques que componen al sistema de calefacción del invernadero y que son: el actuador, la planta y el sensor, los cuales como conjunto constituyen lo que se conoce como proceso. Sin embargo, se puede afirmar que este análisis sobre el comportamiento del proceso hasido de utilidad además de necesario, puesto que la estructura que se proponga para el controlador y el método para obtener sus parámetros dependen en buena medida de qué tan complejo sea el proceso, así como del tipo de señales de referencia y de perturbaciones que se lleguen a presentar.
Teniendo esto en cuenta, el presente capítulo inicia con el análisis teórico de dos controladores que podríanadecuarse a nuestro proceso, los controladores P y PI. Dicho análisis consta de dos partes, en la primera, el desarrollo se lleva a cabo bajo condiciones ideales, es decir, sin perturbaciones; mientras que en la segunda, el análisis se realiza tomando en cuenta a las perturbaciones, que para el caso del invernadero, se darían únicamente al final del proceso o bien, al considerar pequeños cambiosen los parámetros de su función de transferencia. Todo lo anterior será llevado a Simulink con la finalidad de corroborar lo predicho por las ecuaciones.
Por último, la teoría se llevará a la práctica, en forma de dos circuitos analógicos que representen al bloque del controlador y cuyo desempeño real será comparado con la teoría y evaluado tanto en condiciones ideales como en no ideales, esto conel objetivo de elegir aquel controlador que mejores características ofrezca.

4.1 Perturbaciones
Complementando al sistema de la figura 1.1 se expone a continuación el mismo sistema pero con perturbaciones y con señales en el dominio complejo, donde: R(s), E(s), U(s), Y(s) y N(s) son las señales de referencia, error, control, salida y perturbación, respectivamente.

Figura 4.1: Diagrama debloques con perturbaciones.
Aplicando superposición y el álgebra de bloques es posible llegar a la siguiente ecuación para la señal de salida:
[ ] [ ]
Asimismo, considerando que E(s)=R(s)-Y(s) y que U(s)=GcE(s) se obtienen las siguientes ecuaciones para la señal de error y la señal de control:
[ ] [ ]
[ ] [ ]
4.2 Controlador tipo P
En esta sección se busca realizar el diseñodel controlador tipo P, de tal manera que se obtenga un controlador que le brinde estabilidad al sistema, que no sature al actuador, que su error en estado estacionario adquiera un valor que pueda predecirse teóricamente y que a su vez se acerque a la realidad.
La ley de control de este controlador es la siguiente:
[ ] [ ]
Así pues, el objetivo se resume en encontrar un valor de Kp quecumpla con los requisitos anteriores.
4.2.1 Análisis teórico en condiciones ideales
El análisis comienza calculando aquellos valores de Kp para los cuales el sistema es estable. Para esto, se procede a aplicar el criterio de Routh considerando un Gc=Kp y un Gp=k/(τs+1):
Polinomio Característico:
[ ] [ ]
Tabla de Routh:
s1 | τ |
s0 | 1+Kpk |

Criterio de Routh:
Para que el sistemasea estable es necesario que 1+Kpk > 0, o bien:
[ ] [ ]
Este resultado asegura que para cualquier valor de Kp mayor a -1/k el sistema va a ser estable. Sin embargo, en la práctica existe un límite positivo de Kp bajo el cual se evita que el actuador entre en saturación.
Este límite superior de Kp se calcula a partir de la ecuación para u(t) en función de Kp, obtenida con latransformada inversa de Laplace de U(s), analizando en qué tiempo u(t) es máximo, y forzando a que u(t) sea menor a los 5V que saturarían al actuador. El desarrollo es el siguiente:
De la ecuación (4.3) y considerando que la señal de referencia es un escalón de magnitud R, se tiene:

[ ] [ ]
Dado que u(t) contiene un término exponencial que decae con el tiempo, el valor máximo de u(t) es en t=0s...