Controladores De Lgr

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Lugar Geométrico de las Raíces.

2

6

2

La ubicación de los polos en sistemas lineales contiene la información
relevante de éste. En efecto, a partir de ésta se puede concluir de su
estabilidad y características dinámicas y estáticas. En este capítulo se
revisa el concepto de Lugar Geométrico de las Raíces como el gráficode
la ubicación de los polos de un sistema lineal. En particular, se revisan
técnicas para bosquejar esta ubicación a partir de la F. de T. en L.D. como
función de un parámetro del sistema. Normalmente, este parámetro
corresponde a la ganancia del controlador.

2

j2

2

8

2

j2

2

j2

j2

Se observa que,
-

para k = 0 se tiene que las raíces en L.C. son las raíces enL.D.,
a medida que k aumenta, las raíces del polinomio en L.C. se
mueven por ramas, por lo que hay un número de ramas que es
igual al número de raíces, el cual a su vez es igual al orden del
polinomio característico.

5

Si ahora por ejemplo la F. de T. en L.D. es,
l ( s)

4.1 Introducción.
Sea la planta en L.C. como se muestra en la Fig.4.1(a). La F. de T. en L.D. es,
k

l ( s)s ( s 4)

kg
1 grk

, con r(s) = 1.

y por lo tanto las raíces en L.C. son s1, 2

k
s ( s 4) k

s2

y ( s)
y d ( s)

k
,
4s k

16 4k ) / 2

(4

Algunos valores se muestran en la tabla siguiente y la gráfica que se denominará el lugar geométrico de
las raíces (L.G.R.) en la Fig.4.1(b).
k

s1

s2

0

4

con r(s) = 1,
5

kg
1 kgr

k ( s 2)
k ( s 2) ( s 1)2

1

0

1k

( s 2)
( s 1)

=

s 1 k ( s 2)

para k = 0 se tiene que el polo en L.C. es el polo en L.D..
el polo viaja al cero a medida que k aumenta.

0

2

2

2

2

Por ejemplo, se estudia el caso de la F. de T. en L.D. dada por,
2
0

0

5

5

0

0

5

5

5

yd
+

1
s(s + 4)

k

y

0

5

8
5

(a)

6

(b)

Fig.4.1 Sistema enL.C. y su L.G.R. en función de k; (a) diagrama, (b) L.G.R..

4

2

0

2

8

6

4

(a)

0

Fig. 4.3 L.G.R. de 1 kgr ( s )

1k

2

0

2

(b)
s( s

1

( s 2)
Fig. 4.2 L.G.R. de 1 k
= 0.
( s 1)

2k 1
, de esta expresión se concluye que,
k1

s( k 1) 2k 1 0 , por lo tanto, hay un polo en s1
-

3

k ( s 2)
,
s (k 1) 2k 1

por lo que el polinomiocaracterístico es 1 + l(s) =

4 k , las cuales dependen de k.

2

0

hay un polo en -1 y además hay un cero en 2. La F. de T. en L.C.
sería,

y por lo tanto las raíces en L.A. son s1,2 = 0 y 4. La F. de T. en L.C. es,
y( s)
yd ( s)

k ( s 2)
,
( s 1)

( s 4 3 j )( s 4 3 j )
2)( s 6)( s 5 6 j )( s 5 6 j )

0 ; (a) k positivo, (b) k negativo.

=

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x1(t)M
yr

u

d
x2(t)

u

yd

k1

+

kc
-

m

k2

y

suspensión
automóvil

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x Ax bkc ( yd y ) ep, y cx , lo que es simplificado a x ( A kc bc)x bkc yd ep, y cx . Es decir, la ubicación de
los polos está dada por la ubicación de los valores propios de la matriz A- kcbc. Los resultados se ilustran en la Fig. 4.4, de
éstos se puede concluir que el sistema siempreoscila en L.C., para valores altos de kc se hace inestable en L.C. La Fig.
4.4(e) muestra la simulación para un cambio en la referencia y luego en la perturbación (camino). Claramente, el sistema
oscila inaceptablemente.

El método del L.G.R. es una técnica gráfica para determinar los polos de la F. de T. en L.C. h(s) a partir
de la F. de T. en L.D. l(s) conforme varía uno de los parámetros delsistema. Este método proporciona
un gráfico que permite estudiar,

yr(t)

(a)

(b)

0

-

0

50

50

0
0

50

50

5

estabilidad
dinámica
estado estacionario
sensibilidad
diseño

polos en el S.P.I./S.P.D..
ubicación de polos en el diagrama (complejos: oscilaciones).
error en estado estacionario en el diagrama (polos en el origen).
variación del L.G.R. en...