Conv

Ponencia Realizada en el Primer Congreso Regional de Electricidad, Electrónica y Sistemas, CREES 2009.

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Método Alternativo para Calcular la Convolución de Señales en Tiempo Continuo
Hans I. López

Resumen—El presente artículo expone una solución alternativa al método gráfico que se utiliza con frecuencia para obtener la convolución de dos señales continuas. Se discuten las ventajas ydesventajas del método, así como las posibles aplicaciones en el ámbito académico. Palabras Claves—Convolución, Funciones Singulares, Método Gráfico

Ahora considérense a todas las derivadas e integrales de la función impulso unitario como una familia de funciones, que se reconocerán como funciones singulares o elementales. La función escalón unitario [1] es, por ejemplo, obtenida al integrar lafunción delta de Dirac:
⎧0, t < 0 u (t )  ⎨ = ⎩1, t ≥ 0

∫ δ (λ ) d λ
t −∞

(3)

L

I. INTRODUCCIÓN

A convolución es una operación que permite encontrar la respuesta de un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI) si se conoce la respuesta al impulso y la señal de entrada al mismo [1]. Dicha operación se realiza con las señales en el dominio del tiempo y su contraparte, en lafrecuencia, es básicamente una multiplicación de las transformadas de Fourier respectivas [2]. Aunque el análisis frecuencial facilita en muchos casos el análisis de las señales, es de esperarse que en otros se convierta en un desgaste de esfuerzo y tiempo valioso. Gracias a la dualidad tiempo-frecuencia, la convolución es útil en el análisis de procesos que impliquen la multiplicación en el dominiodel tiempo (tal como ocurre en el proceso de modulación) [3] y en el cálculo de funciones de autocorrelación; sin embargo, el cálculo de la integral de convolución [4] es dispendioso, computacionalmente exigente y en el ámbito académico, un martirio. A continuación se expone un método alternativo para calcular la convolución, el cual promete evitar la evaluación de la integral y facilitar elanálisis de señales.

Otros ejemplos de funciones singulares son: rampa unitaria, r(t); parabola, p(t ); cúbica, c(t); muy utilizadas en el análisis de señales en tiempo continuo.
t ⎧0, t < 0 r (t )  ⎨ = ∫ u ( λ ) d λ (4) −∞ ⎩t, t ≥ 0 ⎧0, t < 0 t ⎪ p (t )  ⎨ t 2 = ∫ r ( λ ) d λ (5) −∞ ⎪2 ,t ≥0 ⎩ ⎧0, t < 0 t ⎪ c (t )  ⎨ t 3 = ∫ p ( λ ) d λ (6) −∞ ⎪6,t ≥0 ⎩

Es de esperarse entonces que lafunciones singulares se puedan obtener como las derivadas de las de orden superior; por ejemplo, la función delta de Dirac se podría definir como la derivada de la función escalón unitario, la segunda derivada de la función rampa unitaria y así sucesivamente. B. Integral de Convolución A continuación, considérese un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI) caracterizado por su respuesta al impulsoh(t). Sea x(t), y(t), la entrada y salida del sistema, respectivamente (Fig. 1a). La respuesta al impulso, h(t), es la salida que se obtiene al aplicar un delta de dirac de área unitaria en la entrada del sistema LTI (Fig. 1b). Debido a que el sistema en cuestión es invariante en el tiempo, un retraso de τ unidades de tiempo en la señal de entrada implica un retraso equivalente en la salida delsistema, como se representa en la Fig. 1c. Ahora bien, la linealidad del sistema permite aplicar el principio de superposición mostrado en la Fig. 1d y la Fig. 1e.

II. MARCO REFERENCIAL A. Funciones Singulares Sea δ(t) la función impulso unitario [1], también conocida como delta de Dirac, definida en (1) y cuya área total “bajo la curva” es unitaria.
⎧0, t ≠ 0 δ (t ) = ⎨ ⎩∞, t = 0 (1)

∫ δ (t) dt = 1
−∞

∞

Ponencia Realizada en el Primer Congreso Regional de Electricidad, Electrónica y Sistemas, CREES 2009.

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Es de aclarar que las propiedades dadas en (11) y (12) son extensibles a ordenes superiores.

III. MÉTODO BASADO EN FUNCIONES SINGULARES PARA CALCULAR LA CONVOLUCIÓN A. Convolución de Funciones Singulares Considerando las definiciones de las funciones singulares...