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Estabilidad de los sistemas de control lineales
La Estabilidad de un sistema de control es su propiedad más importante, tanto es así que no se puede hablar de sistema de control si éste no es estable.
Un sistema es estable si responde con una variación finita a variaciones finitas de sus señales de entrada. Si se considera un sistema lineal e invariante en el tiempo, la inestabilidad delsistema supondrá una respuesta que aumenta o disminuye de forma exponencial, o una oscilación cuya amplitud aumenta exponencialmente. En esas situaciones el sistema no responde a las acciones de control, por lo que se dice que el sistema se ha ido de control. Este efecto puede provocar situaciones muy peligrosas y fallos catastróficos, de ahí la importancia de estudiar la estabilidad.
 
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[pic]A continuación se estudia un criterio que tiene el mismo objetivo que el de Routh-Hurwitz, es decir, la estabilidad del sistema que se estudia. El criterio de Routh-Hurwitz se relacionaba directamente con las raíces de la ecuación característica del sistema. En el criterio de Nyquist se emplea un planteamiento distinto al utilizar los conceptos del estado permanente ceno en tal correspondientes aeste estudio. Originalmente lo formuló en 1932 Harry Nyquist de los Bell Telephone Laboratories. Es importante observar que su utilidad en la práctica se relaciona con el hecho de que se puede aplicar a través de mediciones senoidales de rutina que es posible efectuar en el laboratorio.
La operación básica al aplicar el criterio de Nyquist es un Mapeo del plano S al plano F(s). Este documentopresenta el criterio de estabilidad de Nyquist y sus fundamentos matemáticos. Sea el sistema de lazo cerrado que se ve en la Fig. No. 1. La función transferencia de lazo cerrado es :
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Se tendrá estabilidad cuando todas las raíces de la ecuación característica
1 + G(S)H(S) = 0
estén en el semiplano izquierdo s. El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta de frecuencia de lazoabierto G(jω) H(jω) a la cantidad de ceros y polos de 1 + G(s) H(s) que hay en el semiplano derecho s. Este criterio debido a H. Nyquist es ϊtil en ingeniería de control porque se puede determinar gráficamente de las curvas de respuesta de lazo abierto la estabilidad absoluta del sistema de lazo cerrado, sin necesidad de determinar los polos de lazo cerrado. Se pueden utilizar para el análisis deestabilidad las curvas de respuesta de frecuencia de lazo abierto obtenida analíticamente o experimentalmente. Esto es muy conveniente porque al diseñar un sistema de control frecuentemente sucede que para algunos componentes no se conoce la expresión matemática y solo se dispone de datos de su característica de respuesta de frecuencia.
El criterio de estabilidad de Nyquist esta basado en unteorema de la teoría de las variables complejas. Para entender el criterio primero se han de tratar los con tornos de transformación en el plano complejo.
Se supone que la función transferencia de lazo abierto G(s) H(s) es representable como una relación de polinomios en s. Para un sistema físicamente realizable, el grado del polinomio denominador de la función transferencia de lazo cerrado, debeser mayor o igual al del polinomio numerador. Esto significa que el limite de G(s) H(s) es cero o una constante para cualquier sistema físicamente construible, al tender s hacia infinito.
Estudio preliminar.
La ecuación característica del sistema que se ve en la Fig. No.1 es
F(s) = 1 + G(s)H(s) = 0
Se ha de demostrar que a un camino cerrado continuo dado en el plano s que no pasa por ningúnpunto singular, corresponde una curva cerrada en el plano F(s).
La cantidad y sentido de lazos o rodeos alrededor del origen en el plano F(s) por una curva cerrada, juega un papel importante en lo que sigue, pues mas adelante se ha de relacionar la cantidad y sentido de lazos o rodeos con la estabilidad del sistema.
Sea, por ejemplo, la siguiente función transferencia de lazo abierto:
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La...