Convergencia de los Métodos de Runge Kutta

Convergencia de los métodos de Runge- Kutta aplicados a ecuaciones diferenciales lineales algebraicas parciales
Facultad de Ingenierías, Universidad Pontificia Bolivariana
Medellín, Colombia


Abstract---Aplicamos métodos de Runge-Kutta para ecuaciones diferenciales lineales algebraicas parciales de la forma donde y la matriz A es singular. Probamos que bajo ciertas condiciones la ordende convergencia temporal del régimen completamente discreta depende del índice de tiempo de la ecuación diferencial-algebraica parcial. En particular, se encuentran órdenes fraccionarias de convergencia en el tiempo.
Además se muestra que el esquema totalmente discreto sufre una reducción del orden causado por las condiciones de contorno.
Ejemplos numéricos confirman los resultados teóricos.I. Introducción
En este trabajo consideramos ecuaciones algebraico-diferenciales parciales lineales (EADPs) de la forma:



donde son matrices constantes, . Estamos interesados ​​en los casos en que la matriz A es singular. La singularidad de A lleva al aspecto diferencial-algebraico.
Siempre será asumido tácitamente que la solución exacta es tan a menudo como el diferenciablenumérico análisis requiere.
A diferencia de los problemas de contorno iniciales parabólicos con matrices regulares A y B, aquí no podemos prescribir los valores iniciales y de frontera para todos los componentes del vector solución, tienen que cumplir con ciertas condiciones de consistencia. Consideramos un ejemplo:
1) Ejemplo: Bobina superconductora (ver Marszalek y Trzaska [8], Campbell y Marszalek[2]):



con denota la tensión, denota la divergencia de la intensidad de campo eléctrico dentro de la bobina. es la longitud de todo el bobinado.. son más parámetros de bobina.
Transformación a sistemas diferenciales- algebraicas parciales de primer orden en rendimientos


Dado que las condiciones iniciales que elegimos

y como condiciones de contorno

donde E es el voltaje dela fuente de energización en la entrada de la bobina.
A medida que los valores límite de son constantes, se obtiene a partir de la tercera y cuarta ecuación de (2) que cumplen las condiciones de contorno homogéneas. A partir de la condición inicial de y la primera ecuación obtenemos . Con y la tercera ecuación se deduce y por lo tanto con la primera ecuación esto implica y con la cuartaecuación obtenemos finalmente .
Aquí hemos elegido los valores iniciales y de contorno prescritas de tal manera que todos los valores iniciales y de contorno son compatibles.

Para más ejemplos teniendo en cuenta la determinación de los valores iniciales y de contorno que no se pueden prescribir ver Lucht et al. [7].
En lo siguiente se supone que para el cálculo numérico todos los valoresiniciales y se conocen todos los valores de límite que entran en la discretización en el espacio, , donde nos limitamos a las condiciones de contorno de Dirichlet para simplificar la presentación.
Las investigaciones de la convergencia de los métodos de Runge-Kutta aplicadas a las ecuaciones diferenciales parabólicas abstractas se pueden encontrar, por ejemplo, en Brenner y col. [1], Lubich yOstermann [6] y Ostermann y Thalhammer [10]. El enfoque utilizado no se puede llevar adelante a la clase de problemas que aquí se considera, porque la matriz A es singular.
Este trabajo está organizado de la siguiente manera. En la Sección 2 se deriva de un sistema semi-discreto basado en diferencias finitas. El resultado es un método-de-líneas-DAE (MDL-DAE)
La sección 3 se dedica a la aproximaciónde Runge-Kutta de MDL-DAE. Bajo una transformación regular, el MDL-DAE de dimensión nN se desacopla en los sistemas de N de dimensión n, donde N denota el número de puntos de la cuadrícula sobre el eje x. Por otra parte, una transformación de Weierstrass-Kronecker se utiliza para desacoplar cada uno de estos sistemas en un sistema de ODE y un sistema algebraico. Introducimos el índice de tiempo...