Convergencia

Tenemos que para cualquier norma se cumple la desigualdad del triangulo, es decir kx yk kx zk + kz yk En particular, tenemos que F Con kF Gk1 := sup jF (x)
x2R

^ F

1

F^ Fn

1

^ + Fn

^ F

1

:

G (x)j ;

^ y F siendo una función de distribución de una variable aleatoria x: F la esti^ macion de esta mediante el metodo de kernels, yFn la funcion de distribución empirica. Usando la desigualdad de Dvoretzky– Kiefer– Wolfowitz tenemos que i h 2 ^ P F Fn >" 2e 2n" ; 8" > 0:
1

Por lo que

P

h

F

^ Fn1

"

i

1

2e

2n"2

;

8" > 0:

^ ^ Una vez que se ha obtenido la muestra tenemos que la cantidad Fn F 1 es una función que depende del tipo de kernel usado ydel ancho de banda, es decir no es una cantidad aleatoria. Denotaremos a esta cantidad como ^ ^ gn (h; K) := Fn F : 1 Entonces i h 2 ^ ^ ^ > " + gn (h; K) 2e 2n" ; + Fn F P F Fn
11

y como n ^ F F

1

tenemos que

o > " + gn (h; K) P h F ^ F

n

F

^ Fn

1

^ + Fn

^ F

1

o > " + gn (h; K) ;

1

Por lo que para garantizar laconverjencia casi segura del estimador tipo 2 kernel basta con garantizar que 2n ("n;h;k gn (h; K)) ! 1.

O lo que es eqivalente h i ^ P F F > "n;h;k
1

i > " + gn (h; K) 2e

2e2n"2

;

8" > 0:

2n("n;h;k gn (h;K))2

;

8"n;h;k > gn (h; K) :

1

Si se toma siempre un h tal que gn (h; K) tenemos entonces que si "n;h;k = 2n ("n;h;k
2 1 p n1 p n

(1)

+ a con a > 0 1 p +a n 1 p n
2

gn (h; K)) = 2n

= 2na2 ! 1:

Por lo que tomando un ancho de banda h que satisfaga la condición (1) tenemos que h # 0cuando n " 1; y que F ^ F
c:s: 1

! 0:

Y el ancho de banda se puede elejir como sigue 1 hn = min h j gn (h; K) = p h>0 n O se puede usar cualquier h tal que 0 < h hn : :

2