converse

O Mnrrrr¡ÁTtcAs y rtosorín
La matemática del siglo XIX se puede resumir con la emersión de las geometrías no euclidianas, la aritmetización del análisis, la sistematizaci1n geométrica y el surgimiento de
fo11a1 algebraicas nuevas,los trabajos de Gauss en la teoría de números (seguidos por Dirichlet),los logros en la generalidad de la geometría analítica,la teoría de lai funciónes deWeierstrass, Schwarz y Mittag-Leffler ...
Nos parece relevante enfatizar que es en este panorama intelecfual que se construyó la teoría de conjuntos. Esta nace, nos dice Bourbaki, debido a: "Lasneceiidades del Análisis en
particular el estudio a fondo de las funciones de variables reales que se desarrolla durante todo el siglo XIX" lBourbaki,N.: Elementosdthistoriadelasmatemiticns,p.46l.Tal y como laconocemos ahora es trabajo de Cantor. Este se interesó por el asunto en1872, a propósito de los problemas de equipotencia en1873, de la dimensión a partir de1874,y entró 1878 y 1884 incidió
sobre casi todos los problemas de la teoría de los conjuntos.

A pesar de la oposición general que esta teoría generó en la época de Cantor, Weierstrass
y Dedekind siguieron con interés la labor de Cantor.Para Dedekind su objetivo era fundamentalmente la aplicación de la noción de conjunto a
la de número. Desde el momento en que aparecen muchos de los resultados, éstos van a
ser aplicados a las cuestiones clásicas del Análisis.
La teoría de_conjuntos fue muy importante porque iba a servir como engranaje de los principales resultados matemáticos y lógicos de la época y también concentráría sobreella ia reflexión sobre los fundamentos de la matemática. La teoría de conjuntos, de una u otra forma, va a representar desde entonces un papel esencial en la descripción de las matemáticas/ a pesar de las dificultades que a partir de ella se sucedieron en momentos posteriores.
El siglo XIX (con:los resultados teóricos en matemáticas y lógica que hemos señalado) ofrecía un cuadro intelecfualextraordinario para la síntesis en los fundamentos y la reflexión
sobre las matemáticas. Esta va a ser realizadapor Gottlob Frege retomando ú filosofía logicista de Leibniz.
En la evolución de la matemática del siglo XIX el ideal de la posibilidad de una evidencia
absoluta como criterio de verdad está inscrito en el horizonte intelecfual. Pero es una evidencia que podríamos decir ha pasado de sersemántica para empe zar a ceder a una sintáctica. El método axiomático que se apuntala aquí es "prLro" contrapuesto con el "infui-

üvo" del ideal griego,

es formal padriore,¡.:

Limitacionesinternasdelost'ormalismos,p.z+1. Las matemáticas
sufrieron en el siglo XIX un doble proceso de "independizacilnde las estructuras funda-

uRrevÁlcRs, nlosoríR y lócrcR

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mentales del análisis[...]y crítica de los conceptos básicos [...]" ¡rud.ié'.,J.: Limítacionesinternasdetos
formalismos, p.331.

Las condiciones de partida para la reflexión de Frege fueron diferentes a las de Kant o
Leibniz, incluso a las de Boole; esto engendraúaque los mismos problemas en torno a la
nafuraleza última de la matemática hayan sido abordados no sólo con recursos teóricos
nuevos, sino frente a uncontenido de la misma diferente.
De esta forma el proyecto que va a aprehender Frege luego, ya 1o examinaremos, no va a
ser simplemente el de la materialización mecánica del de Leibniz. Frege va a establecer

lln proyecto técnica y filosóficamente nuevo, aunque no

se pueda negar la influencia de
filosofías anteriores. De hecho, mucho de la filosofía de las matemáticas presente en todos losintentos fundacionales de fines de XIX y principios del XX estaba contenido en la
filosofía clásica y especialmente en la de los siglos XVII y XVIII.

Para Descartes, Spinoza,Leibrúzo Kant larazíngenera verdades apriori,infalibles. Se es-

tablece en cada uno una cierta combinación teórica a partir del idealismo, platonismo,
axiomatismo, o infuicionismo. Para Descartes los tres primeros se...