Convolucion discreta

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Convolución Discreta
Ricardo Radaelli-Sanchez Richard Baraniuk
Translated By: Fara Meza Erika Jackson

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Based on Discrete-Time Convolution Ricardo Radaelli-Sanchez Richard Baraniuk

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by

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Abstract Convolución es un concepto que seextiende a todos los sistemas que son lineales e invariantes en el tiempo (LTI). Se convertira aparente en esta discucion que esta condicion es necesaria para demostrar como la linearidad y el tiempo invariante son necesarias para la convolución.

1 Ideas Generales
Convolución es un valor que se extiende a todos los sistemas que son

invariantes linear del tiempo1 (LTI
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- Linear TimeInvariant). La idea de convolución discreta es la misma que la de convolución continua . Por esta razón, puede ser de gran ayuda el ver las dos versiones para que usted entienda la extrema importancia del concepto. Recuerde que la convolución es un instrumento poderoso al determinar el resultado de un sistema después de saber la una entrada arbitraria y la respuesta al impulso del sistema. Puede sertambién útil al ver la convolución grácamente con sus propios ojos y jugar con este concepto un poco, así que experimente con las aplicaciones
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que están disponibles en la Internet.

Estos recursos ofrecerán métodos

diferentes para aprender este concepto crucial.
∗ Version † http://cnx.org/content/m10087/2.17/

1.4: Aug 19, 2005 3:25 pm GMT-5

1 "Clasicación y Propiedades de losSistemas" 2 "Convolución de Tiempo-Continuo" 3 http://www.jhu.edu/∼signals

‡ http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/

http://cnx.org/content/m12833/1.4/

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2 Suma de Convolución
Como ya ha sido mencionado, la suma de convolución provee una manera matemáticamante concisa para expresar el resultado de un sistema LTI, basado en una entrada arbitraria para unaseñal discreta y también el saber la respuesta del sistema. La

suma de convolución
∞

es expresada como

y [n] =
k=−∞

(x [k] h [n − k])

(1)

Así como en tiempo continuo la convolución es representado por el símbolo *, y puede ser escrita como

y [n] = x [n] ∗ h [n]
Al hacer un simple cambio de variables en la suma de convolución, que la convolución es

(2)

k = n − k , podemosdemostrar fácilmente
(3)
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conmutativa:

x [n] ∗ h [n] = h [n] ∗ x [n]
Para mas información sobre las características de convolución, lea las propiedades de convolución .

3 Derivación
Sabemos que las señales discretas pueden ser representadas por la suma de impulses discretos que están desplazados y escalados. Ya que estamos asumiendo que el sistema es linear e invariante con eltiempo, se ve razonable decir que la entrada de la señal esta formada por impulses que también están escalados y desplazados, esto en turno daría como resultado del sistema una suma de respuesta de impulse que también están escaladas y desplazadas. Esto es exactamente lo que ocurre en manera matemática rigurosa de ver esta derivación: Al dejar

convolución.

Abajo presentamos una

H

ser unsistema DT LTI, empezaremos con la siguiente ecuación y trabajaremos hasta llegar a

la suma de convolucion !

y [n]

= H [x [n]] = H = = =
∞ k=−∞ ∞ k=−∞ ∞ k=−∞ ∞ k=−∞

(x [k] δ [n − k])
(4)

(H [x [k] δ [n − k]]) (x [k] H [δ [n − k]]) (x [k] h [n − k])

Demos un vistazo rápido a los pasos tomados en la derivación anterior. Después de nuestra ecuación inicial, nosotros usamos lapropiedad de desplazamiento
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del DT para re-escribir la función, Después, movemos el operador

de funciones multiplicada por una suma unitaria.

x [n], como una suma H y la sumatoria H [·]

es linear, en el sistema DT. Por esta linealidad y por el hecho que, constantes ya mencionadas y nada mas multiplicar la ecuación por

x [k] es constante podemos extraer la H [·]. Final mente , usamos...