Convolucion

Convolución Discreta
¿Qué es? La convolución es un operador matemático que transforma dos funciones x y h en una tercera función que en cierto sentido representa la magnituden la que se superponen x y una versión trasladada e invertida de h.
∞

( )=
∞

( ) ( − )

Sea h(n) la respuesta de un sistema LTI al impulso unitario ( ) . La expresiónanterior permite obtener respuesta y(n) como función de la entrada x(n) y de la respuesta impulsional h(n). La entrada x(n) se convoluciona con la respuesta limpusional h(n)para producir la salida y(n), llamada convolución.

¿Cómo Calcularla? Multiplicamos (como en la primaria) la secuencia x con h. Cuidado, multiplicamos primero el elemento de mása la izquierda con el resto, y luego nos vamos trasladando a los elementos de la derecha. Esto es análogo a “espejar” una de las 2 funciones Ejemplo:

x[n] = [1,0,-1] ; h: x:1 + 1 1 2 1 2 0 2 -1 0 -1 0 -1 -2 -1 -1 -1 0 -2 -3 0 1 1 1 1 y[n] = [1,2,-2,-3,1,1]

h[n]=[1,2,-1,-1]

 1 * [1,2,-1,-1]  0 * [1,2,-1,-1]  -1 * [1,2,-1,-1]

Ya tenemosla secuencia de salida, pero aún nos falta conocer en que intervalos se desarrolla.
Convolución Discreta Adrián Botta - Página 1

¿Cómo se calculan los límites de la saliday[n]?  Límite Derecho = El índice de donde termina la secuencia h +Distancia al 0 del último elemento de x. Ejemplo: Fin de la secuencia H

Ejemplo: Distancia al 0 del últimoelemento de x.



Cantidad de Elementos de la secuencia = Cant. Elementos de x + Cant. Elementos de h -1



Límite Izquierdo = Limite derecho – Cantidad Elementos dela Secuencia + 1

Para nuestro ejemplo Inicial:    Limite Derecho = 2 + 2 = 4 Cant. Elementos = 3 + 4 -1 = 6 Limite Izquierdo = 4 – 6 + 1= -1

Convolución Discreta