Convolucion

TEOREMA DE CONVOLUCION

Una convolución es un operador matemático que transforma dos funciones f y g en una tercera función que en cierto sentido representa la magnitud en la que se superponen f y una versión trasladada e invertida de g. Una convolución es un tipo muy general de promedio móvil, como se puede observar si una de las funciones la tomamos como la función característica de unintervalo.
La convolución de y se denota . Se define como la integral del producto de ambas funciones después de desplazar una de ellas una distancia η.

El rango de integración dependerá del dominio sobre el que estén definidas las funciones. En el caso de un rango de integración finito, f y g se consideran a menudo como extendidas, periódicamente en ambas direcciones, tal que el término g(t-τ)no implique una violación en el rango. Cuando usamos estos dominios periódicos la convolución a veces se llama cíclica. Desde luego que también es posible extender con ceros los dominios. El nombre usado cuando ponemos en juego estos dominios "cero-extendidos" o bien los infinitos es el de convolución lineal, especialmente en el caso discreto que presentaremos abajo.
Si X e Y son dos variablesaleatorias independientes con funciones de densidad de probabilidad f y g, respectivamente, entonces la densidad de probabilidad de la suma X + Y vendrá dada por la convolución f * g.
Para las funciones discretas se puede usar una forma discreta de la convolución. Esto es:

Cuando multiplicamos dos polinomios, los coeficientes del producto están dados por la convolución de las sucesionesoriginales de coeficientes, en el sentido dado aquí (usando extensiones con ceros como hemos mencionado).
Generalizando los casos anteriores, la convolución puede ser definida para cualesquiera dos funciones cuadrado-integrables definidas sobre un grupo topológico localmente compacto. Una generalización diferente es la convolución de distribuciones.

ANALISIS DE SISTEMA POR COVOLUCION

Laconvolución nos ayuda a determinar el efecto que tiene el sistema en la señal de entrada. Puede ser visto que el sistema lineal de tiempo invariante es completamente caracterizado por su respuesta al impulso. A primera vista, esto puede parecer de pequeño uso, ya que las funciones de impulso no están bien definidas en aplicaciones reales. Sin embargo la propiedad de desplazamiento del impulso nos dice queuna señal puede ser descompuesta en una suma infinita (integral) de impulsos escalados y desplazados. Conociendo como un sistema afecta un impulso simple, y entendiendo la manera en que una señal es abarcada por impulsos escaldos y sumados, suena razonable que sea posible escalar y sumar la respuesta al impulso a un sistema en para poder determinar que señal de salida resultara de una entrada enparticular. Esto es precisamente lo que la convolución hace - la convolución determina la salida del sistema por medio conocimiento de la entrada y la respuesta al impulso del sistema.
Como mencionamos anteriormente, la integral de convolución nos da una manera matemática fácil de expresar la salida de un sistema LTI basado en una señal arbitraria, x(t),y la respuesta al impulso, h(t).La integral de convolución es expresada como
y(t)=∫∞−∞x(τ)h(t−τ)dτ
La convolución es una herramienta muy importante que es representada por el símbolo ∗, y puede ser escrita como
y(t)=x(t)∗h(t)
Haciendo unos cambios simples en las variables de la integral de convolución, τ=t−τ, podemos ver que la convolución es conmutativa:
x(t)∗h(t)=h(t)∗x(t)
Para más información de las características de laintegral de convolución, léase sobre la Propiedades de la Convolución .
Ahora presentaremos dos aproximaciones distintas que se derivan de la integral de convolución. Estos procesos, junto con un ejemplo básico, nos ayudaran para construir una intuición sobre la convolución.
Metodo I
Este proceso sigue de cerca el mencionado en la sección anterior en la Motivación. Para iniciar esto, es necesario...