Convolucion
Páginas: 2 (499 palabras)
Publicado: 28 de junio de 2011
Convolución
Dadas dos funciones g (t ) y f (t ) se puede formar la siguiente ecuación integral.
∞
s (t ) =
−∞
∫ g (τ ) f (t − τ )dτ ,
(20)
la ecuación (20), es llamada integral deconvolución la cual se expresa simbólicamente como: s (t ) = g (t ) ∗ f (t ) . (21)
Como ya se vio en la propiedad 7 de la Transformada de Fourier, la convolución en el tiempo se definió como: Sea:g ( t ) ↔ G ( jω ) , f ( t ) ↔ F ( jω )
∞
−∞
∫ g (τ ) f (t − τ )dτ ↔ G ( jω )F ( jω ) ,
(22) (23)
g ( t ) ∗ f ( t ) ↔ G ( jω ) F ( jω )
La convolución en el dominio del tiempoequivale a la multiplicación de sus espectros en el dominio de la frecuencia. Y de la propiedad 6, Propiedad de la multiplicación, de la Transformada de Fourier, se encontró que si: g ( t ) ↔ G ( jω ) f ( t) ↔ F ( jω ) g (t ) f (t ) ↔ 1 2π
∞
−∞
∫ G ( jy)F ( j (ω − y))dy
(24)
g (t ) f (t ) ↔
1 [G ( jω ) ∗ F ( jω )] 2π
(25)
El producto de dos funciones en el dominio del tiempoequivale a la convolución de sus espectros en el dominio de la frecuencia.
1
La convolución cuenta con las siguientes relaciones: Ley Conmutativa: Ley distributiva: Ley asociativa: g (t ) ∗ f (t ) =f (t ) ∗ g (t ) .
g (t ) ∗ [ f (t ) + h(t )] = g (t ) ∗ f (t ) + g (t ) ∗ h(t ) g (t ) ∗ [ f (t ) ∗ h(t )] = [g (t ) ∗ f (t )] ∗ h(t ) .
Interpretación gráfica.
Es empleada cuando en lossistemas lineales sólo se conoce en forma gráfica f 1 (t ) y f 2 (t ) , por ejemplo:
∞
f 1 (t ) ∗ f 2 (t ) =
−∞
∫ f (τ ) f
1
2
(t − τ )dτ ,
τ , es una variable independiente.
Ver Figura1. 1. 2. De la figura 1 (a), se observan las formas gráficas de dos funciones f 1 (t ) y f 2 (t ) . Se ponen las de las funciones, f 1 (t ) y f 2 (t ) , en términos de τ , obteniéndose f 1 (τ ) y f 2(−τ ) . Ver figura 1 (b). Se empieza un desplazamiento de la función triangular desplazada a t 1 sobre τ . Ver figura 1 (c). El área sombreada representa la integral de convolución en t = t1 y así...
Dadas dos funciones g (t ) y f (t ) se puede formar la siguiente ecuación integral.
∞
s (t ) =
−∞
∫ g (τ ) f (t − τ )dτ ,
(20)
la ecuación (20), es llamada integral deconvolución la cual se expresa simbólicamente como: s (t ) = g (t ) ∗ f (t ) . (21)
Como ya se vio en la propiedad 7 de la Transformada de Fourier, la convolución en el tiempo se definió como: Sea:g ( t ) ↔ G ( jω ) , f ( t ) ↔ F ( jω )
∞
−∞
∫ g (τ ) f (t − τ )dτ ↔ G ( jω )F ( jω ) ,
(22) (23)
g ( t ) ∗ f ( t ) ↔ G ( jω ) F ( jω )
La convolución en el dominio del tiempoequivale a la multiplicación de sus espectros en el dominio de la frecuencia. Y de la propiedad 6, Propiedad de la multiplicación, de la Transformada de Fourier, se encontró que si: g ( t ) ↔ G ( jω ) f ( t) ↔ F ( jω ) g (t ) f (t ) ↔ 1 2π
∞
−∞
∫ G ( jy)F ( j (ω − y))dy
(24)
g (t ) f (t ) ↔
1 [G ( jω ) ∗ F ( jω )] 2π
(25)
El producto de dos funciones en el dominio del tiempoequivale a la convolución de sus espectros en el dominio de la frecuencia.
1
La convolución cuenta con las siguientes relaciones: Ley Conmutativa: Ley distributiva: Ley asociativa: g (t ) ∗ f (t ) =f (t ) ∗ g (t ) .
g (t ) ∗ [ f (t ) + h(t )] = g (t ) ∗ f (t ) + g (t ) ∗ h(t ) g (t ) ∗ [ f (t ) ∗ h(t )] = [g (t ) ∗ f (t )] ∗ h(t ) .
Interpretación gráfica.
Es empleada cuando en lossistemas lineales sólo se conoce en forma gráfica f 1 (t ) y f 2 (t ) , por ejemplo:
∞
f 1 (t ) ∗ f 2 (t ) =
−∞
∫ f (τ ) f
1
2
(t − τ )dτ ,
τ , es una variable independiente.
Ver Figura1. 1. 2. De la figura 1 (a), se observan las formas gráficas de dos funciones f 1 (t ) y f 2 (t ) . Se ponen las de las funciones, f 1 (t ) y f 2 (t ) , en términos de τ , obteniéndose f 1 (τ ) y f 2(−τ ) . Ver figura 1 (b). Se empieza un desplazamiento de la función triangular desplazada a t 1 sobre τ . Ver figura 1 (c). El área sombreada representa la integral de convolución en t = t1 y así...
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