Convolucion

Convolución
Es una operación matemática u operador en la que tomamos dos funciones y
producimos una tercera.
En sistemas lineales la convolución brinda una manera de relacionar tres
señales: la señal de entrada, la respuesta a impulso o la función de
transferencia y la señal de salida.

La señal de entrada convolucionada
con la respuesta al impulso es igual a
la señal de salida.

Laconvolución se representa con el símbolo *.
Definición:
La convolución de y se denota
. Se define como la integral del
producto de ambas funciones después de desplazar una de ellas una distancia
.

El intervalo de integración dependerá del dominio sobre el que estén definidas
las funciones.
Convolución grafica
El cálculo de la convolución de las señales x (t) y h (t) cuando las dos señalesson continuas se realiza con una integral ordinaria. Sin embardo cuando alguna
de las dos señales o las dos son continuas por tramos, el cálculo de la
convolución lo podemos hacer por medio de la INTERPRETACION GRAFICA.
Existen pasos para realizar la convolución, esta se debe hacer por intervalos de
modo que el producto
pueda describirse mediante una expresión
matemática en dichosintervalos. De la expresión original se cambia la variable
t por , donde es ahora la nueva variable y t constante (con valor arbitrario, es
decir, puede tomar cualquier valor constante).
Paso1: para t un tiempo arbitrario fijo en el intervalo [t1, t2] se dibujan
,
y el producto resultante
como funciones
de

Paso 2: integrar el producto resultante
resultado queda en términos de t)

comofunción de

(así el

Propiedades:
Las propiedades de los diferentes operadores de convolución son:
Conmutatividad

Asociatividad
Distributividad
Asociatividad con multiplicación escalar
Para todo número complejo o real

.

Regla de derivación
Donde Df denota la derivada de f o, en
el caso discreto, el operador diferencia
.
Teorema de convolución

Donde

denota la Transformada deFourier de f. Este teorema también se

cumple con la Transformada de Laplace.
Representaciones de sistemas
Un sistema es una relación matemática que asigna una señal de salida a una
señal de entrada.
Esta definición esta expresada de manera concisa en esta ecuación:

Existe una amplia representación de sistemas y sus metodología de análisis,
sin embargo los 4 modelos mas utilizados son:Ecuaciones diferenciales

La función de transferencia de Laplace
La integral de Convolucion
La función de transferencia de Fourier
Existe una amplia representación de sistemas y sus metodología de análisis,
sin embargo los 4 modelos mas utilizados son:
Ecuaciones diferenciales
La función de transferencia de Laplace
La integral de Convolucion
La función de transferencia de FourierDEFINICION DE FUNCION DE TRANSFERENCIA
El concepto básico de la función de transferencia es relacionar la señal de
entrada con la señal de salida del sistema.
La función de trasferencia

de un sistema de la ecuación:

es la relación de la transformada de Laplace de la señal de salida sobre la
trasformada de Laplace de la señal de entrada:
=

=

Usualmente la función de transferencia es unafunción racional de polinomios,
tal que se puede representar de la siguiente forma:
=
Donde las raíces del polinomio del numerador
son llamados los ceros de
la función de transferencia, mientras que las raíces del polinomio del
denominador
se llaman polos de la función de transferencia.
El sistema incluye las señales de entrada X(s) y la salida Y(s), así como la
función de trasferenciaH(s). La función de transferencia se define como la
razón de la trasformada de la señal de salida sobre la trasformada de la señal
de entrada.
INTEGRAL DE CONVOLUCION
Se deriva de la función de transferencia que expresa la señal de salida con el
producto de la función de trasferencia por la señal de entrada

Tomando la trasformada inversa de Laplace de la expresión anterior tenemos:...