Convolucion

En matemáticas y, en particular, análisis funcional, una convolución es un operador matemático que transforma dosfunciones f y g en una tercera función que en cierto sentido representa la magnitud en la que se superponen f y una versión trasladada e invertida de g. Una convolución es un tipo muy general de media móvil, como se puede observar si una de las funciones se toma como la funcióncaracterística de un intervalo.
Índice
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• 1 Definición
• 2 Uso
• 3 Tipos de Convolución
o 3.1 Convolucion discreta
o 3.2 Convolución circular
• 4 Propiedades
o 4.1 Conmutatividad
o 4.2 Asociatividad
o 4.3 Distributividad
o 4.4 Asociatividad con multiplicación escalar
o 4.5 Regla de derivación
o 4.6 Teorema de convolución
o 4.7 Convoluciones con deltas de Dirac
• 5 Matriz deconvolución
• 6 Rellenado con ceros
• 7 Convoluciones de grupos
• 8 Véase también
• 9 Enlaces externos

[editar]Definición
La convolución de y se denota . Se define como la integral del producto de ambas funciones después de desplazar una de ellas una distancia .

El intervalo de integración dependerá del dominio sobre el que estén definidas las funciones. En el caso de un rango deintegración finito, f y g se consideran a menudo como extendidas, periódicamente en ambas direcciones, tal que el términog(t - η) no implique una violación en el rango. Cuando usamos estos dominios periódicos la convolución a veces se llamacíclica. Desde luego que también es posible extender con ceros los dominios. El nombre usado cuando ponemos en juego estos dominios "cero-extendidos" o bien losinfinitos es el de convolución lineal, especialmente en el caso discreto que presentaremos abajo.
Si e son dos variables aleatorias independientes con funciones de densidad de probabilidad f y g, respectivamente, entonces la densidad de probabilidad de la suma X + Y vendrá dada por la convolución f * g.
Para las funciones discretas se puede usar una forma discreta de la convolución. Esto es:Cuando multiplicamos dos polinomios, los coeficientes del producto están dados por la convolución de las sucesiones originales de coeficientes, en el sentido dado aquí (usando extensiones con ceros como hemos mencionado).
Generalizando los casos anteriores, la convolución puede ser definida para cualesquiera dos funciones de cuadrado integrable definidas sobre un grupo topológico localmentecompacto. Una generalización diferente es la convolución de distribuciones.
[editar]Uso
La convolución y las operaciones relacionadas se encuentran en muchas aplicaciones de ingeniería y matemáticas.
• En estadística, como un promedio móvil ponderado.
• En teoría de la probabilidad, la distribución de probabilidad de la suma de dosvariables aleatorias independientes es la convolución de cadauna de sus distribuciones de probabilidad.
• En óptica, muchos tipos de "manchas" se describen con convoluciones. Una sombra (e.g. la sombra en la mesa cuando tenemos la mano entre ésta y la fuente de luz) es la convolución de la forma de la fuente de luz que crea la sombra y del objeto cuya sombra se está proyectando. Una fotografía desenfocada es la convolución de la imagen correcta con elcírculo borroso formado por el diafragma del iris.
• En acústica, un eco es la convolución del sonido original con una función que represente los objetos variados que lo reflejan.
• En ingeniería eléctrica, electrónica y otras disciplinas, la salida de un sistema lineal(estacionario o bien tiempo-invariante o espacio-invariante) es la convolución de la entrada con la respuesta del sistema a un impulso(ver animaciones).
• En física, allí donde haya un sistema lineal con un "principio de superposición", aparece una operación de convolución.
[editar]Tipos de Convolución
[editar]Convolucion discreta
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