Coordenadas cilindricas y esfericas

“Coordenadas cilíndricas y esféricas”

Las coordenadas cilíndricas y esféricas constituyen generalizaciones de las coordenadas polares en el espacio tridimensional.

□ Coordenadas Cilíndricas

[pic]

La representación en coordenadas cilíndricas de un punto P es (r,θ,z), donde r y θ son las coordenadas polares de la proyección de P en un plano polar y z es la distancia dirigida desdedicho plano polar hasta P. veamos la figura 17.10.1
[pic]

Ejemplo #1 – trazar la grafica de cada una de las siguientes ecuaciones donde c es una constante: (a) r = c; (b) θ = c; (c) z = c.

Solución

a) Para un punto P(r,θ,z) en la grafica de r = c, θ y z pueden tener cualquier valor y r es una constante. La grafica es un cilindro circular recto que tiene radio c y el eje z como eje. Lagrafica se muestra en la figura 17.10.2

b) Para todos los puntos P(r,θ,z) en la grafica de θ = c, r y z pueden tomar cualquier valor mientras que θ permanezca constante. La grafica es un plano a través del eje z. Veamos en la figura 17.10.3 un dibujo de la grafica.

c) La grafica de z = c es un plano paralelo al plano polar, a una distancia dirigida de c unidades desde él. La figura17.10.4 muestra la grafica.

El nombre “coordenadas cilíndricas” se origina del hecho de que la grafica de r = c es un cilindro circular recto como en el ejemplo 1(a). Las coordenadas cilíndricas se utilizan con frecuencia en un problema físico cuando existe un eje de simetría.
Supongamos que un sistema coordenado cartesiano y un sistema coordenado cilíndrico se colocan de tal forma que el planoxy es el plano polar del sistema coordenado cilíndrico y el lado positivo del eje x es el eje polar, como se muestra en la figura 17.10.5.

Entonces, el punto P tiene a (x,y,z) y (r,θ,z) como dos conjuntos de coordenadas, los cuales se relacionan por las ecuaciones:

Cilíndricas a Cartesianas [pic](1)Si [pic]
Cartesianas a Cilíndricas [pic](2)

Ejemplo #2-1 – Obtener una ecuación, en coordenadas cartesianas, de las siguientes superficies cuyas ecuaciones están dadas en coordenadas cilíndricas e identificar la superficie: (a) r = 6sen θ; (b) r(3cos θ + 2sen θ) + 6z = 0.

Solución

a) Multiplicando por r en ambos lados de la ecuación, obtenemos [pic]. Como[pic] y [pic], entonces [pic]. Esta ecuación se puede escribir en la forma [pic], lo cual muestra que su grafica es un cilindro circular recto cuya sección transversal en el plano xy es la circunferencia con centro en (0,3) y radio 3.
b) Sustituyendo rcos θ por x y rsen θ por y, obtenemos la ecuación 3x + 2y + 6z = 0. Por tanto, la grafica es u plano a través del origen y tienen [pic] comovector normal.

Ejemplo #2-2 - Expresar en coordenadas rectangulares el punto [pic].

Solución

Con las formulas de conversión de cilíndricas a rectangulares obtenemos.

[pic]

Así pues, en coordenadas rectangulares ese punto es (x, y, z) = [pic]

Ejemplo #3-1 – Hallar una ecuación en coordenadas cilíndricas para cada una de las siguientes superficies cuyas ecuaciones están dadas encoordenadas cartesianas e identificar la superficie: (a) [pic]; (b) [pic].

Solución

a) La grafica de la ecuación es un paraboloide elíptico. Si [pic] se sustituyen por r2, la ecuación se transforma en [pic].
b) La grafica de la ecuación es un paraboloide hiperbólico que tiene el eje z como eje. Cuando sustituimos x por rcosθ y y por rsenθ, la ecuación se transforma en [pic]; y ya que[pic], podemos escribir esto como [pic].

Ejemplo #3-2 - Hallar ecuaciones en coordenadas cilíndricas para las superficies cuyas ecuaciones rectangulares se especifican a continuación:

a) x2 + y2 =4z2
b) y2 = x

Solución

a) Por la sección procedente sabemos que la grafica de x2 +y2 =4z2 es un cono con su eje en el eje z. si sustituimos x2 + y2 por r2, obtenemos su ecuación en...