Coordenadas Copolares

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Concepto
Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas para definir la posicion de un punto en un espacio bidimensional consistente en un ángulo y una distancia, definido por un origen O y una linea semi-infinita L saliendo delorigen.A L se le conoce tambien como eje polar.

Definamos un sistema ortonormal con eje de abscisas X y eje de ordenadas Y. Tracemos un vector centrado en el origen y acostado en el eje de las abscisas, y de longitud r. Si ahora decidimos inclinarlo con un ángulo {$\large \theta$};, tendremos un vector definido por las variables r y {$\large \theta$}. Es decir, para definir un punto en el plano porejemplo podemos, bien definir un par ordenado (x,y) en coordenadas cartesianas, bien dar un largo r de vector y un ángulo {$\large \theta$}; en coordenadas polares. Ambas precisan un mismo punto en el plano.
En el sistema de coordenadas polar, el punto P es representado por un tuplo de 2 coordenadas (r,θ). Usando terminos del sistema Cartesiano de coordenadas, 0{$\large \leq{r} $} es la distaciadel origen al punto P y 0{$\large \leq{\theta}$}360 (azimut) es el angulo entre el eje x positivo y la linea del origen al punto P.
Defincion en el sistema Cartesiano
Las coordenadas polares r (la coordenada del radio) y {$\large \theta$} (la coordenada angular, comunmente llamada el Angulo polar) estas definidas en el sistema Cartesiano por:
{$\large x=r\cos{\theta}$}
{$\largey=r\sin{\theta}$}
donde r es la distacia radial al origen, y {$\large \theta$} es el angulo contrario a las manecillas del reloj desde del eje X.En terminos de x y y:
{$\large r=\sqrt{x^2+y^2}$}
{$\large \theta=\tan^{−1}{(\frac{y}{x})}$}
La ecuacion de una curva en coordenadas polares es conocida como una ecuacion polar, y el trazo de una curva en coordenadas polares es conocido como un trazo polar.
Enmuchos casos, es útil utilizar las coordenadas cartesianas para definir una función en el plano o en el espacio. Aunque en muchos otros, definir ciertas funciones en dichas coordenadas puede resultar muy tedioso y complicado. En dichos casos, hacer uso de las coordenadas polares o esféricas puede simplificarnos mucho la vida.
Ejemplo de Funciones Polares
A continuacion se muestran algunas graficasde funciones polares, para darmos una mejor idea de como se representan.

Esta es la funcion {$ \large r=3\cos(2t) $}, que asemeja la forma de una rosa.Dependiendo del parametro son los petalos que manifiesta.

Esta es la funcion {$ \large r=\theta $}, conocida como la Espiral Dorada, que es una de las formas mas comunes en la naturaleza y fue estudio de Da Vinci por mucho tiempo.

Esta es lafuncion {$ \large r=1-\sin{\theta} $}, conocida tambien como “cardioide”, debido a que asemeja a un corazon.

Coordenadas polares y cartesianas
Para indicar dónde estás en un mapa o gráfico hay dos sistemas:
Coordenadas cartesianas
Con coordenadas cartesianas señalas un punto diciendo la distancia de lado y la distancia vertical:

Coordenadas polares
Con coordenadas polares señalas un puntodiciendo la distancia y el ángulo que se forma:

Convertir
Para convertir de un sistema a otro, se resuelve el triángulo:

De cartesianas a polares
Si tienes un punto en coordenadas cartesianas (x,y) y lo quieres en coordenadas polares (r,θ), necesitas resolver un triángulo del que conoces dos lados.
Ejemplo: ¿qué es (12,5) en coordenadas polares?

Usamos el teorema de Pitágoras para calcular el ladolargo (la hipotenusa):
r2 = 122 + 52
r = √ (122 + 52)
r = √ (144 + 25) = √ (169) = 13
Usa la función tangente para calcular el ángulo:
tan( θ ) = 5 / 12
θ = atan( 5 / 12 ) = 22.6°
Así que las fórmulas para convertir coordenadas cartesianas (x,y) a polares (r,θ) son:
r = √ (x2 + y2)
θ = atan( y / x )
 
De polares a cartesianas
Si tienes un punto en coordenadas polares (r, θ) y lo quieres en...