Coordenadas curvilineas

E
l
e
c
t
r
i
c
i
d
a
d

SISTEMAS DE COORDENADAS ORTOGONALES

CILÍNDRICAS y ESFÉRICAS

Antonio J. Barbero
Departamento de Física Aplicada UCLM

y
M
a
g
n
e
t
i
s
m
o

1

E
l
e
c
t
r
i
c
i
d
a
dCOORDENADAS CILINDRICAS
Z

Elemento de volumen
dv r dr d dz

Vectores unitarios (ortogonales)

dz
r

z

dr
Y


ur

r , , z



d

Relación cartesianas


u

y
M
a
g
n
e
t
i
s
m
o

Elemento delongitud
 


dl ur dr  u r d  u z dz

rd 

X


uz

  
ur u u z
  
u u z ur
  
u z ur u

x r cos 
y r sin
z z

Elemento de área
ds r dr d

2

COORDENADASCILINDRICAS – Relaciones de unitarios


uy


ux





ur

90  


u

 

u x ur cos   u sin 
 

u y u r sin   u cos 
 
u z u z

Unitarios cartesianos
en función de unitarios
encilíndricas




u x cos  u r cos 2   u cos  sin 



u y sin  u r sin 2   u cos  sin 

 

ur u x cos   u y sin 




 u x sin   ur cos  sin   u sin 2 



u y cos u r cos  sin   u cos 2 




u  u x sin   u y cos 

Unitarios en cilíndricas
en función de unitarios
cartesianos

 
u z u z

3

E
l
e
c
t
r
i
c
i
d
a
d

COORDENADAS ESFÉRICAS
ZElemento de volumen
dv dr rd  r sin  d
dv r 2 sin  dr d d

dr

r



Vectores unitarios (ortogonales)

d

r , ,

rd 

Y


ur

u




u

  
ur u u
 

u u ur
  
u uru

d

X

rsin

Relación cartesianas

rsin d

Elemento de longitud
 


dl ur dr  u r d  u rsin d

x r sin cos 

Elemento de área

y r sin sin

ds r 2 sin d d

z rcos

4

y
M
a
g
n
e
t
i
s
m
o

COORDENADAS ESFÉRICAS – Relaciones de unitarios

uz




uz


ur



uy


ux


uy


ur

 
u
Unitarios cartesianos
en función de
unitarios en esféricas

90º

u

Plano XY

90  

 

u z u r cos   u sin 


u


ux




ur sin 




u

90  


u cos 

 


u x u r sin  cos   u cos  cos   u sin 
 


u y ur sin  sin...