Coordenadas esfericas

SUBTEMA 1.1.3. COORDENADAS ESFÉRICAS

Las coordenadas esféricas [pic](radio), [pic](longitud), y [pic](colatitud) (aunque a veces la llamemos latitud, es justo respetar la geografía...) se relacionan con las cartesianas mediante
[pic]

Dado un vector r del espacio tridimensional y tres planos que se cortan en el punto origen de r, se definen las coordenadas esféricas como las tresnúmeros que se obtienen desde las proyecciones ortogonales del vector sobre las tres aristas de intersección de los planos perpendiculares, por las relaciones siguientes:
|[pic] |[pic] |
| |o bien:|
| |[pic] |

Coordenadas Esféricas

Las coordenadas esféricas se definen de acuerdo a las siguientes relaciones
Las relaciones inversas son:
Geométricamente, los ángulos [pic]de las coordenadas esféricascorresponden casi exactamente a las coordenadas de latitud y longitud definidas sobre la superficie de la Tierra.
El elemento de longitud se puede calcular de la misma manera que se hizo para el caso de las coordenadas cilíndricas,
De esta manera, el elemento de longitud se expresa como
[pic]
Con esto, el elemento de volumen se puede expresar como
[pic]
El elemento de área (escalar), sobre unasuperficie de esférica de radio R será entonces
[pic]
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Campos Escalares y Vectoriales

Un campo escalar corresponde a una magnitud física que requiere sólo de un número para su caracterización. Esto puede corresponder, por ejemplo, a la distribución de temperaturas dentro de un cuerpo, a las presiones dentro de un fluido, o a un potencialelectrostático. Un campo vectorial, en cambio, corresponde a una magnitud física que requiere de varios números para su descripcción, como puede ser un campo de fuerzas gravitacionales o eléctricas.
Matemáticamente, un campo escalar es una función [pic], escalar, cuyo valor depende del punto del espacio en que se considere, y que escribimos en la forma
[pic]
en que [pic]es un vector que representala posición del un punto de observación en el espacio, de coordenadas (cartesianas) (x,y,z).
Recordamos la noción de superficie equipotencial, de valor [pic], que corresponde al lugar geométrico de los puntos que tienen igual potencial,
[pic]
Un ejemplo conocido, y por lo tanto intuitivo, es el de las curvas de nivel en cartografía, que se usa para poder representar la topografía de una regiónen un mapa bidimensional. En este caso, el campo escalar que corresponde es el campo de alturas H(x,y), de una región de la superficie de la tierra, en función de la posición de puntos sobre un plano (proyección). Se trata, evidentemente de un campo escalar en el espacio bidimensional, la altura de un punto está dada por z = H(x,y).
http://www.cec.uchile.cl/~cutreras/apuntes/node144.htmlGRADIENTE

Consideremos un campo escalar, [pic], y tomemos dos puntos vecinos, de coordenadas [pic]y [pic]. Calculemos la variación que experimenta el campo entre estos dos puntos vecinos
[pic]
Indudablemente, [pic]es un escalar, ya que es la diferencia entre dos escalares, y puede escribirse en la forma:
[pic]
en que hemos definido el operador diferencial [pic], cuya acción sobre un campoescalar está dada por
[pic]
Como hemos dicho, [pic]es un escalar, y [pic]es un vector, por lo tanto, la cantidad [pic]debe ser un vector, pues sólamente el producto de un vector por otro vector puede ser escalar.
El gradiente tiene algunas propiedades interesantes; en primer lugar, se puede demostrar que el gradiente de una función escalar en un punto dado, [pic], [pic], es perpendicular a...