Coordenadas Esféricas, Polares y Rectangulares

Coordenadas Polares
Elegimos un punto en el plano, al que llamamos polo u origen y lo identificamos con . A continuación trazamos una línea (que es una semirrecta) que comienza en y se denominael eje polar. Por lo general, este se taraza con dirección horizontal hacia la derecha y corresponde al eje de las positivas en las coordenadas cartesianas.
Si es cualquier otro punto en el plano,sea la distancia de a y el ángulo medido habitualmente en radianes, formado por el eje polar y la recta .
Entonces, el punto P está representado por el par ordenado y se conocen comocoordenadas polares.





Adoptemos la convención de que el ángulo es positivo si se mide en dirección contraria a las manecillas del reloj, partiendo del eje polar, y negativo si se toma en la direcciónque giran las manecillas del reloj.





En la siguiente figura se muestra la relación entre las coordenadas polares y las cartesianas, cuando el polo corresponde al origen y el eje polarcoincide con el eje de las positivas. Si el punto tiene coordenadas cartesianas y polares , entonces, de acuerdo con la figura,
Y así
Las ecuaciones anteriores permitenestablecer las coordenadas cartesianas de un punto conociendo las coordenadas polares. Para determinar , conociendo y , usaremos las ecuaciones.
y
Coordenadas Cilíndricas
Un puntodel espacio tridimensional está representado por la terna ordenada , donde son las coordenadas polares de la proyección de en el plano es la distancia dirigida del plano . Para convertir decoordenadas cilíndricas a rectangulares empleamos las ecuaciones:







Mientras que para convertir de coordenadas rectangulares a cilíndricasusamos:

Las coordenadas cilíndricas son útiles en problemas que tiene simetría alrededor de un eje.
Coordenadas Esféricas
De un punto en el espacio se ilustran en la siguiente figura, donde es...