Coordenadas Homogeneas

Coordenadas Homogeneas
En matemáticas, y más concretamente en geometría proyectiva, las coordenadas homogéneas son un instrumento usado para describir un punto en el espacio proyectivo. Fueronintroducidas por el matemático alemán August Ferdinand Möbius en el año 1837.
También pueden usarse como un sistema alternativo de coordenadas para trabajar en el espacio euclídeo, pues éste puede versecomo un subconjunto del espacio proyectivo. De ese modo, las coordenadas homogéneas son ampliamente usadas en infografía para la representación de escenas en tres dimensiones. Su notación en formamatricial se emplea en bibliotecas de programación gráfica en 3D como OpenGL y Direct3D.
Coordenadas y matrices homogéneas
La representación mediante coordenadas homogéneas de la localización desólidos en un espacio dimensional se realiza a través de coordenadas de un espacio (n+1)-dimensional. Es decir, un espacio n-dimensional se encuentra representado en coordenadas homogéneas por (n+1)dimensiones, de tal forma que un vector p(x,y,z) vendrá representado por p(wx,wy,z,w), donde w tiene un valor arbitrario y representan un factor de escala.
A partir de la definición de las coordenadashomogéneas surge inmediatamente el concepto de matriz de transformación homogénea. Se define como matriz de transformación homogénea T a una matriz de dimensión 4*4 que representa la transformación de unvector de coordenadas homogéneas de un sistema de coordenadas a otro.
Así pues, se puede considerar que una matriz homogénea se haya compuesta por cuatro submatrices de distinto tamaño: una submatrizR3*3 que corresponde a una matriz de rotación; una submatriz p3*1 que corresponde al vector de traslación; una submatriz f1*3 que representa una transformación de perspectiva, y una submatriz w1*1 querepresenta un escalado global. En robótica generalmente solo interesara conocer el valor de R3*3 y de p3*1 , considerándose las componentes f1*3 nulas y la de w1*1 la unidad, aunque mas adelante se...