Coordenadas Intrinsecas

Anexo 1
A. Coordenadas Intrinsecas Considerase una partícula en un plano y sea P su posición inicial. Se tiene un vector ˆ unitario ( e t ) tangente a la trayectoria y con el mismo sentido del movimiento (ver Figura ˆ 1A). Sea e' t el vector unitario correspondiente a la posición P’ de la partícula en un instante después.
y P

ˆ et
P’

∆θ

ˆt e′

trayectoria

x Figura 1A: El vectorunitario tangente Si se trazan los dos vectores desde un punto común O se obtiene la Figura 1B y como son vectores unitarios, se puede trazar un circulo entorno al punto O con un radio de valor uno.

O círculo unitario

ˆ et ˆ e′t

ˆ ∆e t
∆θ

ˆ ˆ ˆ ∆e t = e′t - e t

Figura 1B

ˆt ˆ Analizando el segmento con ángulo ∆θ que forman e′ y e t en el círculo unitario se tiene (ver Figura 1C):∆θ 2
1

ˆ ∆e t 2 ˆ ∆e t

ˆ ∆e t 2

= sen

∆θ ⋅1 2

∆θ 2

1

2
Figura 1C

⎛ ∆θ ⎞ ˆ entonces: ∆e t =2sen ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

ˆ ˆ Si ∆θ tiende a cero ∆e t se vuelve tangente al circulo unitario, es decir perpendicular a e t . Su magnitud se aproxima a:
sen ∆θ 2sen ∆θ ˆ ˆ ∆e t de t 2 =1 2 = lim = = lim lim ∆θ → 0 ∆θ ∆θ → 0 ∆θ ∆θ d θ ∆θ → 0 2
→

( )

( )

ˆ de t =1 dθ

ˆ Esdecir, la variación del vector e t con respecto a θ es un vector de magnitud 1 (vector ˆ ˆ unitario). Se observa que si ∆θ → 0 el vector ∆e t tiende a ser perpendicular al vector e t
y apunta en la dirección en que ∆θ crece. Esa dirección corresponde a la dirección del ˆ ⎛ de ⎞ vector ⎜ t ⎟ . ⎜ dθ ⎟ ⎠ ⎝

ˆ Representando éste como el vector unitario e n (ver Figura 1D) se tiene:
ˆ de t ˆ = 1e n dθ→

ˆ de t ˆ = en dθ

Ecn. 1.A

ˆ et
trayectoria

ˆ e t : apunta en la dirección y sentido de la
velocidad

ˆ e n : apunta en la dirección y sentido del vector
ˆ ∆e t (apunta hacia el centro de la curvatura de la trayectoria.

ˆ en

Figura 1D: Los vectores intrínsecos La velocidad de la partícula es tangente a la trayectoria, y se puede escribir:

r ˆ v = ve t
La aceleraciónes:

r ˆ ˆ r dv d(ve t ) dv de ˆ = = a= et + v t dt dt dt dt

Ecn. 1.B

ˆ (aunque constante en magnitud, el vector e t es variable en dirección entonces se tiene que derivar) Donde:

ˆ ˆ de t de t dθ ds = dt dθ ds dt
Ahora de la Ecn 1.A
ds =v dt

ˆ de t ˆ = en dθ

dθ 1 = ds ρ
ρ = radio de curvatura de la trayectoria (ver Figura 1E) ds ρ dθ Figura 1E por lo tanto: ds = ρdθ →

dθ 1 =ds ρ

ˆ de t v ˆ = en dt ρ

substituyendo en Ecn. 1.B:

r dv v2 ˆ ˆ a= et + en dt ρ

B. Coordenadas Polares
La Figura 1F muestra una partícula que se mueve en el sentido creciente del ángulo θ, desde la posición P hasta la posición P’, cualquiera de su trayectoria. ˆr e′

r v′

P’
θ’ θ

ˆθ e′
∆θ

ˆ eθ

ˆ er P trayectoria eje polar

r v

0

Figura 1F: Movimiento de unapartícula en términos de sus coordenadas polares

ˆ ˆr ˆ De la Figura 1G se ve que: ∆e r = e′ - e r
ˆ ∆er

ˆ e'r ∆θ ˆ er
circulo unitario Figura 1G Y utilizando el mismo análisis de la Figura 1C, se tiene:

ˆ ⎛ ∆e r ⎜ 2 ∆θ ⎜ sen =⎝ 2 1

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

y

⎛ ∆θ ⎞ ˆ ∆e r = 2sen⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

Aplicando el concepto de limite, se tiene:

2sen ∆θ sen ∆θ ˆ ∆e r ˆ de r 2 = lim 2 =1 = lim = lim ∆θ→0∆θ dθ ∆θ→0 ∆θ ∆θ→0 ∆θ 2
Lo anterior significa que en el limite cuando ∆t→0 (y ∆θ→0)

( )

( )

ˆ de r tiende al valor unitario. dθ ˆ Por otro lado podemos ver que cuando ∆t→0 la dirección del vector ∆e r (ver la Figura 1G) ˆ ˆ se hace perpendicular a la dirección del vector e r , es decir en el limite ∆t→0 ∆e r tiene la ˆ de r ˆ = eθ dθ

ˆ dirección de e θ . Por lo tanto, podemos decirque:

ˆ de r ˆ = 1e θ dθ

→

ˆ ˆθ Ahora trazando e θ y e′ en un circulo unitario (Figura 1H) para el caso cuando ∆t→0 se ve ˆ ˆ la dirección del vector ∆e θ se hace perpendicular a la dirección del vector e θ y apunta en ˆ ˆ ˆ el sentido contrario a e r , es decir en el limite ∆t→0 ∆e θ tiene la dirección de - e r .

ˆ de θ

∴

ˆ de θ ˆ = 1 (-e r ) → dθ

ˆ de θ ˆ = - er dθ
circulo...