Coordenadas mercator

1. CÁLCULO DE COORDENADAS MERCATOR
Las cartas que se utilizan para la navegación, tanto marítima como aérea, cumplen la condición de ser conformes, es decir, conservan los ángulos en cualquier dirección. Así, las líneas que marcan la dirección, entre dos puntos de la representación, son rectas. Esto es especialmente útil para la navegación ya que las derrotas y demoras, se corresponden conlíneas rectas, lo que facilita su trazado, el mantenimiento del rumbo, y la medida de distancias entre dos puntos cualesquiera. Mercator fue el primer cartógrafo que diseñó una proyección de este tipo, que es la que actualmente lleva su nombre. Para su desarrollo partió de una proyección no conforme como es la cilíndrica gnomónica directa (proyección efectuada sobre un cilindro tangente al Ecuador desdeel centro de la Tierra, Fig. 1). Su idea fue la de calcular en qué cantidad debería alterar la distancia entre paralelos de esa proyección, como los A’B’ y C’D’ de la Fig.2, para que las deformaciones de la proyección en la dirección de la latitud fuesen iguales a las existentes en la dirección de la longitud, consiguiendo así la conservación de los ángulos, y por tanto, la conformidad. Una vezfinalizado su desarrollo, llegó a la conclusión de que los paralelos, en el plano de representación, deberían estar separados una distancia infinitesimal igual a la existente entre ellos sobre la superficie de la Tierra pero multiplicada por el factor:

(1) En (1) es a el semieje mayor del elipsoide que se toma como referencia para la figura de la Tierra, y N la gran normal en el punto de latitudϕ, que define el paralelo en cuestión, y que se calcula según:

(2)

donde:

(3)

En la que e es el valor de la primera excentricidad del elipsoide y f es el aplanamiento del elipsoide. Para llegar a esta conclusión y las consideraciones que siguen a continuación, se ha tomado y se tomará como superficie de referencia de la Tierra, la del elipsoide de revolución, de manera que lasformulas que se exponen sean de aplicación directa para cualquier datum geodésico de referencia que se adopte. Siguiendo con el desarrollo de Mercator, teniendo en cuenta (1) y efectuando la integral correspondiente para pasar de elementos diferenciales a distancias concretas sobre la Tierra, se deduce que en el plano de representación de la Mercator, las distancias que separan cada paralelo del Ecuadorson menores que las correspondientes de la proyección cilíndrica gnomónica directa, tal como se muestra en la Fig.2. El resultado de ese desarrollo da las expresiones analíticas de la proyección Mercator que son:

(4) El parámetro Φ de la segunda ecuación se denomina latitud aumentada o latitud creciente. De acuerdo a estas fórmulas, se puede afirmar que el sistema de referencia ortogonal OXY(Fig.4), del plano de representación, tendrá su origen en el punto de cruce del meridiano de Greenwich con el Ecuador, ya que para x = 0 e y = 0, han de ser ϕ = 0 y λ = 0 (Fig.3). Además, para ϕ = 0 siempre será y = 0, por lo que el eje X coincide con la transformada del Ecuador. Para λ = 0 siempre será x = 0, por lo que el eje Y coincide con la transformada del meridiano de Greenwich.

Paracalcular las coordenadas Mercator en un punto cualquiera como puede ser, por ejemplo, uno central en la península Ibérica, de ϕ = 40º 30’ N y λ = 003º 30’

W, sobre un elipsoide WGS84 en el que a = 6.378.137 m y f = 1/298.257223563, se hará:

Las coordenadas así obtenidas se medirán, en la carta mercatoriana, desde el cruce de las transformadas del meridiano de Greenwich y del Ecuador según elsistema ortogonal cartesiano OXY de la figura anterior. Estas expresiones verifican las condiciones de contorno que Mercator estableció para la proyección que hoy lleva su nombre:
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La transformada del Ecuador es una línea recta a lo largo de la cual se conservan las distancias. Las transformadas de los meridianos son líneas rectas, paralelas y equidistantes entre ellas, normales a...