Coordenadas polares ejercicios

1. Construir los puntos cuyas coordenadas polares son: 4;3π2;B (3;-π4 ) y C 2;7π4

Solución: Graficamos las coordenadas como se muestra.

2. Determinar las coordenadas polares de las vértices de un hexágono regular A, B, C, D, E, y F, tomando como polo al punto 0, centro del hexágono y como eje polar al rayo OC, según la figura.

Solución:
Tomando OC = 1
C(1,0), D(1,π/3),E(1,2π/3), F(1,π), A(1,4π/3) y B(1,5π/3)
3. Determinar las coordenadas polares de los puntos que se indican en la figura adjunta:

Solución:
Como el radio vector r es positivo cuando se mide sobre el lado terminal del ángulo y negativo cuando se mide sobre la prolongación de este, tendremos que:

De acuerdo a la figura, para los puntos M, N, P y Q pueden tomarse como coordenadaspolares.M3; π2;N -4; π4;P4;π4;Q(-2; π4)

4. Dadas las coordenadas cartesianas del punto P (1, - 3), determinar las coordenadas polares del mismo.

Solución:

Se sabe que r=x2+y2 , sustituyendo las coordenadas conocidas del punto tenemos:
r=(1)2+(-3 )2 = 1+3 = 4 = 2 r = 2
Por otra parte se tiene que:

senφ=yr = -32 = φ=arcsen= -32=300°= 5π3= φ= 5π3

Por lo que las coordenadaspolares de P son:

P ( 2; 5π3)



5. Dada la ecuación polar r (3 - 2 cos θ) = 2. Obtener la ecuación cartesiana de la curva.

Solución:

De la ecuación dada se tiene:
3 r - 2 r cos θ = 2

Aplicando las ecuaciones de cambio: x=rcosθ y r=x2+y2
Sustituyendo queda:

3x2+y2 – 2x = 2

3x2+y2 = 2x + 2

Elevando al cuadrado ambos miembros y desarrollando:
9 x2 + 9 y 2 = 4 x 2 + 8 x + 4
Simplificando y ordenando:
5 x 2 + 9 y 2 - 8 x - 4 = 0
La ecuación representa a una elipse.
6. Obtener la ecuación polar de la curva cuya ecuación es: 3 x + 4 y + 1 = 0.
Solución:
Se sabe que x = r cos θ, y = r sen θ
Sustituyendo en la ecuación dada:
r ( 3 cos θ + 4 sen θ ) = - 1
3 r cos θ + 4 r sen θ = - 1
3 (r cos θ) + 4 (r sen θ) = - 1
Despejando a r:r= -13cosθ + 4 senθ

7. Obtener la ecuación rectangular de la curva cuya ecuación es: r= 4cosθ+1

Solución:

Rearreglando la ecuación dada:

r cos θ + r = 4
r ( cos θ + 1 ) = 4

Pero:

x = r cos θ
r=x2+y2Sustituyendo: x+x2+y2 =4 x2+y2 =4-x

Elevando al cuadrado y simplificando:
x2 + y2 = (4 - x)2 = 16 - 8 x + x2
Despejando:
y2 = 16 - 8 x = 8 (2 - x)
Por tanto:y2 = 8 (2 - x)
La ecuación representa a la curva de una parábola.
8. Obtener la ecuación cartesiana de la línea: r (5 cos θ + 3 sen θ) = 6.
Solución:
Haciendo las operaciones:
5 r cos θ + 3 r sen θ = 6

Haciendo el cambio sabiendo que:
x = r cosθ y y = r senθ

Sustituyendo queda:
5 x + 3 y = 6

La ecuación representa a una línea recta.

9. Obtener la ecuación polar de laparábola, cuya ecuación es: y 2 = 2 p x
Solución:
En la ecuación dada sustituimos las ecuaciones:
x = r cos θ
y = r sen θ

Por lo que:
r2 sen2 θ = 2 p r cos θ
Simplificando:
r sen2 θ = 2 p cosθ
Despejando:
r = 2p cosθ sen2 θ = 2 p 1senθ cosθsenθ
Pero:1senθ= cscθ y cosθsenθ = cotθ
Sustituyendo queda:
r = 2 p csc θ cot θ

10. Determinar la nueva ecuación polar de la curva r2 cos θ sen θ = 8, referida al mismo polo, pero cuando el eje polar gira un ángulo de 45°.

Solución:

Previamente, tenemos que pasar al sistema cartesiano la ecuación dada para poder hacer el giro.
La ecuación dada puede expresarse como:
r cos θ r sen θ = 8...