CoordEnadas Polares En El Plano y El Espacio

Coordenadas en el plano y en el espacio
1. Coordenadas cartesianas en el plano, ortogonales y oblicuas

Definición
Llamaremos sistemas de coordenadas cartesianas en el plano al sistema formado por los siguientes elementos:
1. Dos ejes no paralelos, llamados eje de abscisas o eje x, y eje de ordenadas o eje y, cuyas unidades son respectivamente u y v.
2. El punto de intersección delos dos ejes, llamado origen de coordenadas y que designaremos con la letra O.

Definición
Llamaremos coordenadas cartesianas (x, y) de cada punto P del plano a las abscisas de los puntos sobre los ejes x e y que se obtienen proyectando sobre cada eje del punto P paralelamente al otro eje [Figura 1].
X = absc. P’= OP'U = abscisa P
Y= absc.P’’= OP''V ordenada P

Definición
Si el ángulo en el que se cortan los ejes es recto se tendrá un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales, en caso contrario se tendrá un sistema de coordenadas cartesianas oblicuo.

Teorema
Existe una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y los pares ordenados de números reales.
1. Sea P un punto del plano, de acuerdo con ladefinición anterior las coordenadas cartesianas x e y del punto P constituyen un par ordenado de números reales es único, pues por el punto P puede trazarse una única paralela al eje x y una única paralela al eje y, y luego son únicos P’ y P’’ de la definición.
Entonces hemos probado que a cada punto del plano le corresponde un único par ordenado (x,y) de números reales que son sus coordenadascartesianas.
2. Recíprocamente, sea (x,y) un par ordenado de números reales. Existe un único punto P’ sobre el eje x tal que la abscisa de P’ es x; análogamente, existe un único punto P’’ sobre el eje y tal que la abscisa de P’’ es y. Por P’ puede trazarse una única paralela al eje y, por P’’ puede trazarse una única paralela al eje x, el punto de intersección P de ambas paralelas es un punto delplano que de acuerdo con la definición mencionada tiene coordenadas cartesianas ( x,y) de números reales le corresponde un único punto en el plano.
Con lo cual queda demostrado el teorema.
Propiedad 1
Los ejes x e y dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes, caracterizadas en la siguiente forma:

1er Cuadrante x>0y>0 2do Cuadrantex<0y>03er Cuadrante x<0y<0 4to Cuadrantex>0y<0

Propiedad 2
La variación de las coordenadas cartesianas de un punto que recorre todo el plano es:

-∞ < x < +∞ -∞ < y < +∞

Ejemplo
Representar en coordenadas cartesianas oblicuas el triángulo cuyos vértices son los puntos P1 (-1,2), P2 (2,4), P3 (4,-1). [Figura 2]Ejemplo
Representar en coordenadas cartesianas ortogonales el cuadrilátero cuyos vértices son P1(2,0), P2(4,2),P3(2,4), P4(0,2). [Figura 3

Actividades
1. Represente los puntos (-2,3), (0,7) y (-2,4) en un sistema de coordenadas oblicuos cuyo ángulo sea de 60o.
2. Represente los mismos puntos en un sistema ortogonal. ¿Cómo han variado las coordenadas?

2 . Coordenadas Cartesianas en elEspacio, Ortogonales y oblicuas.
Definición
Llamaremos sistemas de coordenadas cartesianas en el espacio al sistema formado por los siguientes elementos: tres ejes concurrentes en un punto O llamado origen de coordenadas; el eje x; el eje y; el eje z, cuyas unidades son respectivamente u, v, w, generalmente distintas.

Definición
Llamaremos coordenadas cartesianas (x,y,z) de cada punto P delespacio, a las abscisas de las proyecciones del punto P sobre cada eje paralelamente al plano determinado por los otros ejes [ver figura 4]. Entonces:

X = absc. P’ = OP'u = 1era. Coordenada de P
Y = absc. P’’= OP''v = 2da. Coordenadas de P
Z = absc. P’’’= OP'''w = 3era. Coordenada de P
Luego, trazando por P un plano paralelo al plano yz, éste corta al eje x en el punto P’ de abscisa...