Coordenadas Polares:. Geometria Analitica

Coordenadas Polares: es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por un ángulo y una distancia.
Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto en un espacio bidimensional consistente en un ángulo y una distancia, definido por un origen O y una línea semi-infinita L saliendo del origen. A L se le conocetambién como eje polar.

Ecuaciones polares: Se le llama ecuación polar a la ecuación que define una curva expresada en coordenadas polares. En muchos casos se puede especificar tal ecuación definiendo como una función de θ. La curva resultante consiste en una serie de puntos en la forma ((θ), θ) y se puede representar como la gráfica de una función .
Se pueden deducir diferentes formas de simetría dela ecuación de una función polar . Si (−θ) = (θ) la curva será simétrica respecto al eje horizontal (0°/180°), si (180°−θ) = (θ) será simétrica respecto al eje vertical (90°/ 270°), y si (θ−α°) = (θ) será simétrico rotacionalmente α° en sentido horario respecto al polo
Circunferencia: La ecuación general para una circunferencia con centro en (0, φ) y radio a es

En ciertos casos específicos,la ecuación anterior se puede simplificar. Por ejemplo, para una circunferencia con centro en el polo y radio a, se obtiene[]

Un círculo con ecuación (θ) = 1.
Línea
Las líneas radiales (aquellas que atraviesan el polo) se representan mediante la ecuación

Donde φ es el ángulo de elevación de la línea, esto es, φ = arctan donde es la pendiente de la línea en el sistema de coordenadascartesianas. La línea no radial que cruza la línea radial θ = φ perpendicularmente al punto (0, φ) tiene la ecuación

La rosa polar es una famosa curva matemática que parece una flor con pétalos, y puede expresarse como una ecuación polar simple,

Para cualquier constante (incluyendo al 0). Si k es un número entero, estas ecuaciones representan una rosa de k pétalos cuando k es impar, o 2k pétalossi k es par. Si k es racional pero no entero, la gráfica es similar a una rosa pero con los pétalos solapados. Nótese que estas ecuaciones nunca definen una rosa con 2, 6, 10, 14, etc. pétalos. La variable a representa la longitud de los pétalos de la rosa.
Si tomamos sólo valores positivos para r y valores en el intervalo para, la gráfica de la ecuación:

Es una rosa de k pétalos, paracualquier número natural. Y si, la gráfica es una circunferencia de radio
Rosa polar

Una rosa polar con ecuación (θ) = 2 sin 4θ.
La espiral de Arquímedes es una famosa espiral descubierta por Arquímedes, la cual puede expresarse también como una ecuación polar simple. Se representa con la ecuación

Un cambio en el parámetro a producirá un giro en la espiral, mientras que b controla la distanciaentre los brazos, la cual es constante para una espiral dada. La espiral de Arquímedes tiene dos brazos, uno para θ > 0 y otro para θ < 0. Los dos brazos están conectados en el polo. La imagen especular de un brazo sobre el eje vertical produce el otro brazo. Esta curva fue una de las primeras curvas, después de las secciones cónicas, en ser descritas en tratados matemáticos. Además es elprincipal ejemplo de curva que puede representarse de forma más fácil con una ecuación polar.
Espiral de Arquímedes

Un brazo de la espiral de Arquímedes con ecuación r(θ) = θ para 0 < θ < 6π.
Secciones cónicas: Una sección cónica con un foco en el polo y el otro en cualquier punto del eje horizontal (de modo que el semieje mayor de la cónica descanse sobre el eje polar) es dada por:Donde e es la excentricidad y es el semilado recto (la distancia perpendicular a un foco desde el eje mayor a la curva). Si e > 1, esta ecuación define una hipérbola; si e = 1, define una parábola; y si e < 1, define una elipse. Para la elipse, el caso especial e = 0 resulta en un círculo de radio

Elipse, indicándose su semilado recto.
Relación entre los sistemas cartesianos y polares...