Coordenadas Polares (Matemática de 4to año)

COORDENADAS POLARES

Es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por un ángulo y una distancia.
De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le llama origen o polo, y una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano), como sistema de referencia. Con estesistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de Oa P. El valor θ crece en sentido antihorario y decrece en sentido horario. La distancia r(r ≥ 0) seconoce como la «coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».
En el caso del origen , O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).

ROSA DE CUATRO HOJAS/PÉTALOS
Este tipo de gráfico se conoce como Rosa de cuatro pétalos. Es fácil ver cómo se forma unafigura parecida a una rosa con cuatro pétalos. La función para este gráfico es:





















ROSA DE TRES HOJAS/PÉTALOS
Presentamos ahora el gráfico llamado Rosa de tres pétalos. Analógicamente al gráfico de la rosa de cuatro pétalos, este gráfico es parecido pero tiene sólo tres hojas o pétalos en su forma gráfica. Un ejemplo es el siguiente:ROSA DE OCHO HOJAS/PÉTALOS
El siguiente gráfico es como los dos anteriores, pero ahora con ocho hojas o pétalos, tal como lo vemos en la siguiente función graficada:





















UNA ROSA DENTRO DE OTRA
Un caso interesante y especial que se puede dar es el que se muestra en la gráfica que vemos a continuación, donde se aprecia una rosa de trespétalos precisamente dentro de otra rosa de tres pétalos u hojas. Veamos:
























CARDIOIDES
A continuación se presenta el tipo de gráfico que se denomina cardioide. Para este ejemplo se presenta una cardioide simétrica con respecto al eje poplar y que apunta hacia la derecha. Podemos observar que se distingue una figura como de un corazón, razón por lacual se llama este gráfico cardioide. La función que lo ha generado es:


 
Habiendo visto el primer gráfico de una cardiode, se presenta otro gráfico de este tipo pero ahora apunta hacia arriba, tal como lo vemos a en el gráfico de la siguiente función:
























LIMACONES O CARACOLES
Limaçon viene del latín limax que significa caracol. El caracolde Pascal, lo descubrió Etienne Pascal padre de Blaise Pascal en la primera mitad del siglo XVII y el nombre se lo dio  Roberval en 1650 cuando la usó como ejemplo para mostrar su método para trazar tangentes. Un limaçon o las gráficas polares que generan limaçones son las funciones en coordenadas polares con la forma:
r = 1 + b cos 
Ahora veamos un ejemplo concreto de un gráfico de este tipo, donde semuestra un caracol que apunta hacia la derecha y que tiene un lazo interior. La función para este gráfico es la siguiente:


Veamos otro gráfico de una función que tiene como resultado un caracol con un lazo interior pero que a diferencia del gráfico anterior, este apunta hacia abajo. Veamos:


Continuando con la gráfica de caracoles o limacones, hay otro tipo que es el caracol conhendidura o caracol con concavidad. Como podremos observar, este no tiene lazo, y está dirigido hacia la izquierda. Veamos a continuación el gráfico que resulta, el cual apunta hacia la izquierda:


Ahora se muestra un gráfico igual al anterior con la diferencia que ahora está dirigido hacia la derecha, de modo que tenemos un limaçon o caracol con hendidura o concavidad que está dirigido hacia la...