Coordenadas polares

GEOMETRÍA ANALÍTICA

COORDENADAS POLARES
CONTENIDO
1. 2. Coordenadas polares de un punto Coordenadas polares geralizadas
2.1 Relación entre coordenadas polares y rectangulares de un punto

3.

Cambio de sistema de coordenadas cartesianas a polares y viceversa
3.1 Ejercicios

4. 5.

Trazado de una curva dada su ecuación polar Ecuación de las curvas de segundo grado en coordenadaspolares

Este sistema consiste en señalar un punto que es el origen de las coordenadas y a partir de él se señala un segmento de recta horizontal denominado línea inicial o eje polar, en el cual se marca la escala que se desee, para medir distancias. Una vez hecho esto, para indicar la posición de un punto cualquiera del plano, trazamos la recta desde el punto en cuestión hasta el origen delsistema y se mide el ángulo por el eje polar y la recta. La medida del ángulo y de la distancia del punto al origen son las coordenadas polares del punto. Lo especificado lo representamos en la figura adjunta.

1.

Coordenadas polares de un punto

Consideremos sobre un plano, un rayo (0x) con origen en el punto 0. Llamaremos eje polar al rayo; polo al punto 0, El eje polar se representara por 0x.Sea M un punto arbitrario del plano, como se observa en la figura adjunta. La longitud del segmento 0M, se llamará longitud del radio polar del punto M y se representará por r. El ángulo que deba rotarse el eje polar, en el
11. COORDENADAS POLARES AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO EDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS

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sentido opuesto a lasmanecillas del reloj, para hacerlo coincidir con el radio polar, 0M se llamará ángulo polar del punto M y se representará por θ. Si el punto M coincide con el polo, r = 0 y el ángulo θ no tendrá un valor determinado. El par de números r y θ reciben el nombre de coordenadas polares del punto M. Lo denotamos como: M ( r, θ ) El radio vector es positivo. EJEMPLO 1. Construir los puntos cuyas coordenadaspolares son:
A 4,

 

3π 

π   7π     ; B 3,-  y C 2, 4  4  2   

SOLUCIÓN
Por lo expuesto, los datos los llevamos a la figura adjunta. EJEMPLO 2. Determinar las coordenadas polares de las vértices de un hexágono regular A, B, C, D, E, y F, tomando como polo al punto 0, centro del hexágono y como eje polar al rayo OC , según la figura.

SOLUCIÓN
Tomando O C = 1C(1,0), D(1,π/3), E(1,2π/3), F(1,π), A(1,4π/3) π π π π y B(1,5π/3) π

2.

Coordenadas polares generalizadas

En la situación de ciertos problemas es conveniente considerar sobre una recta que pasa por el polo, dos puntos M y N que se encuentran en diferentes semi-rectas con relación al punto 0. Como se observa en la figura siguiente: En este caso se toma por ángulo polar de los puntos M y N elmismo ángulo, y r, para el punto M, se considerara positivo y para el punto N será negativo. Las coordenadas θ y r < 0 se llaman coordenadas polares generalizadas del punto N.

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EJEMPLO

las 3. Determinar coordenadas polares de los puntos que seindican en la figura adjunta:

SOLUCIÓN
Como el radio vector r es positivo cuando se mide sobre el lado terminal del ángulo y negativo cuando se mide sobre la prolongación de este, tendremos que: De acuerdo a la figura, para los puntos M, N, P y Q pueden tomarse como coordenadas polares. M 3,

 

π  π  π  π       y Q -2,  , P 4,  ; N - 4 , 2  4  4  4    

2.1.Relación entre coordenadas polares y rectangulares de un punto

Para transformar las coordenadas de un punto de un sistema de coordenadas rectangulares a un sistema de coordenadas polares o viceversa, hacemos coincidir los orígenes de los dos sistemas y el eje polar con el eje positivo de las abscisas o de las x, como se ve en la figura adjunta en la cual consideramos un punto P, cualquiera. Las...