Coordenadas polares

Apéndice II
Otros sistemas de coordenadas
En este apéndice incluiremos tres nuevos sistemas de coordenadas muy importantes, uno de ellos en el plano y los otros dos en el espacio. Estos dos últimos desempeñan un papel muy trascendente en algunos cálculos que se presentan con integrales dobles y triples y que son tediosos y difíciles de efectuar en el sistema de coordenadas rectangulares.

1Sistema de coordenadas polares
Para definir las coordenadas polares de un punto en el plano fijamos inicialmente en él un punto O llamado origen (polo) y un rayo inicial (eje polar) desde O (figura 1a).

Figura 1

A cada punto P del plano puede asignársele un par de coordenadas, (r , θ ), llamadas coordenadas polares del punto P y tales que: r: distancia dirigida de O a P. è: ángulo (positivoo negativo y expresado en radianes) formado por el eje polar y el rayo OP (figura 1b).

Observaciones: i. Para un ángulo dado è, la coordenada r puede ser positiva o negativa, dependiendo de si se toma sobre OP o sobre su prolongación. En la figura 2 se ilustra esta situación para diferentes puntos en el plano polar.

Elementos básicos de cálculo integral y series 439

Figura 2

ii.

Unpunto P(r , θ ) en coordenadas polares puede tener diferentes representaciones según la escogencia que se haga de las coordenadas r y θ.

⎛ π⎞ Así por ejemplo, el punto P ⎜ 3, ⎟ (figura 3a) puede tener las siguientes representaciones: ⎝ 4⎠ 3π ⎞ ⎛ π⎞ ⎛ P ⎜ 3, ⎟ ⇔ P ⎜ −3, − ⎟ 1 4 ⎠ ⎝ 4⎠ ⎝

(figura 3b)

5π ⎞ ⎛ ⇔ P2 ⎜ −3, ⎟ 4 ⎠ ⎝
7π ⎞ ⎛ ⇔ P3 ⎜ 3, − ⎟ 4 ⎠ ⎝ ⎛ 9π ⎞ ⇔ P4 ⎜ 3, ⎟ ⎝ 4 ⎠

(figura3c)

(figura 3d)

(figura 3e)

De aquí se deduce que no existe una correspondencia biunívoca entre los puntos P(r ,θ ) y los puntos del plano, como sí se cumple en el sistema de coordenadas rectangulares.

Figura 3

440

1.1 Relación entre las coordenadas rectangulares y polares
Para establecer la relación existente entre los sistemas de coordenadas polares y rectangulares, hacemoscoincidir inicialmente los dos planos. Es decir, el polo del plano polar coincidiendo con el origen del plano cartesiano y el eje polar con el eje x (figura 4).

Figura 4

De esta forma para el punto P podemos establecer las siguientes relaciones, que se deducen fácilmente de la figura 4;
x2 + y 2 = r 2 ⇔ r = ± x2 + y2 .

(1) (2) (3) (4)

tan θ =
cos θ = sen θ =

y ⎛ y⎞ ⇒ θ = tan −1 ⎜ ⎟. x ⎝x⎠
x ⇒ x = r cos θ. r y ⇒ y = r sen θ. r

Si conocemos las coordenadas rectangulares del punto P( x, y ), entonces usando (1) y (2) podemos determinar las coordenadas polares P(r , θ ) del mismo punto. Si conocemos las coordenadas polares P(r , θ ) del punto, entonces usando (3) y (4) podemos determinar las coordenadas rectangulares P ( x, y ) del mismo punto.

Ejemplo 1 Escriba encoordenadas rectangulares los siguientes puntos dados en coordenadas polares:

a.

P (3, π). 1

b.

3π ⎞ ⎛ P2 ⎜ 2, − ⎟ . 4 ⎠ ⎝

Elementos básicos de cálculo integral y series 441

Solución a. Como r = 3 y θ = π , se sigue entonces de (3) y (4) que:

x = r cos θ ⇒ x = 3 ⋅ cos π = −3, y = r sen θ ⇒ y = 3 ⋅ sen π = 0.
En consecuencia, el punto P (3, π) en coordenadas polares tiene suhomólogo P (−3, 0) en coordenadas 1 1 rectangulares. Como r = 2 y θ = −
3π , se deduce entonces de (3) y (4): 4

b.

x = r cos θ =

⎛ 3π ⎞ 2 cos ⎜ − ⎟ = 1, ⎝ 4 ⎠ ⎛ 3π ⎞ y = r sen θ = 2 sen ⎜ − ⎟ = −1. ⎝ 4 ⎠

3π ⎞ ⎛ En consecuencia, el punto P2 ⎜ 2, − ⎟ en coordenadas polares tiene su homólogo P2 (1, −1) en coordenadas 4 ⎠ ⎝ rectangulares.
Ejemplo 2 Escriba en polares (r > 0, 0 ≤ θ < 2π) lossiguientes puntos dados en coordenadas rectangulares: a.

P (− 3,1). 1

b.

P2 (−2, −2 3).

Solución En la figura 5 aparecen los puntos localizados en el plano cartesiano, los cuales nos ayudarán a determinarlos en coordenadas polares.

Figura 5

442

a.

Como x = − 3 e y = 1, se deduce entonces de (1) y (2) que:
r = x 2 + y 2 = (− 3) 2 + 12 = 2,

θ = tan −1 ⎜ −
⎝

⎛

1 ⎞...