Coordenadas polares

Sobre el plano elijamos un punto O , que denominamos Polo (u origen) y un rayo con origen O, que denominamos Eje Polar

Coordenadas polares
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Si P es un punto cualquiera del plano, su posición con respecto del polo y del eje polar queda determinada con el par ( r, T ) , donde:
r: es la distancia desde P al polo O T: es el ángulo que forma el segmento |OP| con el eje polar. Al par (r, T )se denomina Coordenadas Polares del punto P respecto del sistema polar.
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Ejemplo Representar en el plano polar los siguientes punto cuyas coordenadas polares se indican: 5S P(2, 30º), Q( 4, ) 4

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Notas
x
Cada punto P del plano tiene asociado infinitas representaciones en coordenadas polares. S ) 6

x

Es conveniente permitir que r, la distancia al polo, asuma valores negativos.Se establece el siguiente convenio: "Sea r un número positivo, se conviene en que (-r , T ) es otra forma de representar el punto de coordenadas (r, T  S).

Ejemplo.- El punto P cuyas coordenadas polares son ( 2,

tiene también por coordenadas : S S S ( 2,  2 S ), ( 2,  2 S ), ( 2,  4 S ), . . . etc 6 6 6

Ejemplo.- Dibujar el diagrama de los puntos cuyas coordenadas polares son S S S ),Q ( 4, ), R ( 2, ) P( 3, 4 3 6

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Consideremos un plano con un sistema superpuesto al otro de modo que el origen del sistema rectangular coincida con el polo y el semi-eje positivo del eje ox con el eje polar.

Relación entre Coordenadas Rectangulares y Coordenadas Polares.

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La relación entre las coordenadas rectangulares (x,y) y las polares ( r, T ) de un punto P estadada por las ecuaciones: x y r cos( T ) r sin( T )

Ejemplo: Encontrar las correspondientes coordenadas rectangulares y representar gráficamente los puntos cuyas coordenadas polares son: ( 4, S ), 6 ( 2,  S ), 6 (3, 4S ) 3

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Ejemplo: Nota.Las fórmulas r = ± x2  y2 T = Arctan(y / x) con x z 0 Encontrar las correspondientes coordenadas polares y representar gráficamente los puntoscuyas coordenadas rectangulares son: (3, 3) , (1, 3 ) , (1,  3 ), (2, 2)

permiten encontrar r y T cuando se conoce x e y .
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Ejercicios 1.- Encontrar la correspondiente ecuación en coordenadas polares para las curvas de ecuación: 2 2 2 a) y x b) x  y  2 y 0 2.- Encontrar la correspondiente ecuación en coordenadas rectangulares para las curvas de ecuación: 2 a) r cos( T ) b) r  rsin( T ) 0

Gráfica en coordenadas Polares.

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Ejemplo Para obtener una aproximación del lugar geométrico de una ecuación en coordenadas polares se construye una tabla de valores suficientemente "completa", se dibujan los puntos y se unen mediante una "curva continua"

Trazar la gráfica de la curva cuya ecuación, en coordeladas polares, es r 3 cos( T )

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Respuesta Lasiguiente tabla muestra las coordenadas polares (r, T) para algunos puntos sobre la curva
ªT « ¬r 0. 3. 30. 2.60 45. 2.12 60. 1.50 90. 0. 120. 1.50 135. 2.12 150. 2.60 180.º » 3. ¼

los cuales se representan en un sistema polar

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Sea F( r, T )

0 la ecuación de un L.G. en el plano polar.

Reglas de Simetría Las siguientes reglas de simetría son de gran utilidad en eltrazado de gráficas. Estas reglas están descritas en términos de simetrías con respecto a los ejes ox y oy de un sistema rectangular.
R1.- Si F( r, T ) F( r, T ), el L.G. es simétrico con respecto al eje ox (eje polar). R2.- Si
F( r, S  T ) F( r, T ),

el L.G. es simétrico con el L.G. es simétrico con

respecto al eje oy ( T= S/2). R3.- Si F( r, S  T ) respecto al polo.
F( r, T ),

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20Ejemplo.

Respuesta. Es claro que el gráfico es simétrico con respecto al eje ox. Luego, es suficiente construir el grafico en [0, S ] Tabla de valores ªT 0. 30. 45. 60. 90. 120. 135. 150. 180.º « » ¬ r 5. 4.73 4.41 4. 3. 2. 1.59 1.27 1. ¼

Discutir las simetrías y representar gráficamente el L.G. de la ecuación: r 3  2 cos( T )

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graficamos los puntos obtenidos

Nota:...