Coordenadas Polares

CONTENIDO

INTRODUCCIÓN ..................................................................................................... 2 OBJETIVOS ............................................................................................................. 3 DEFINICIÓN DE COORDENADAS POLARES ....................................................... 4 TRANSFORMACIONES DE COORDENADAS....................................................... 7 Traslación de ejes de coordenadas. ..................................................................... 8 Rotación de ejes de coordenadas. ....................................................................... 8 CONVERSIÓN DE COORDENADAS POLARES A RECTANGULARES ................ 9 CONVERSIÓN DE COORDENADAS RECTANGULARES A POLARES .............. 11 APLICACIONES.................................................................................................... 12 EJERCICIOS DIRIGIDOS A SECCIONES CÓNICAS EN COORDENADAS POLARES .............................................................................................................. 13 BIBLIOGRAFÍA ...................................................................................................... 17INTRODUCCIÓN

En el presente informe, se presenta una completa referencia sobre las coordenadas polares; comenzando por su definición matemática, complementada con diferentes gráficos e ilustraciones que sirven de apoyo para lo explicado con las palabras, continuando con una breve explicación de las transformaciones geométricas, específicamente la rotación y la traslación de ejes decoordenadas. A continuación se explica cómo pasar las coordenadas polares a coordenadas rectangulares y viceversa, partiendo de conceptos básicos de la geometría y obteniendo cada fórmula de tales conceptos; así mismo, se presentan varias aplicaciones con coordenadas polares y por último, se desarrollan ejercicios dirigidos a secciones cónicas en coordenadas polares.

2

OBJETIVOS

GENERAL: Definir y explicar aspectos básicos de lo concerniente a las coordenadas polares en geometría analítica. ESPECÍFICOS:  Enseñar el plano de coordenadas polares.  Auscultar los procesos de conversión de coordenadas.  Exponer aplicaciones de las coordenadas polares.

3

DEFINICIÓN DE COORDENADAS POLARES

En coordenadas polares, a cada punto del plano se le asignan las coordenadas (r,θ) conrespecto a una recta fija en el plano denominada eje polar y a un punto de dicha línea llamado polo. Para un punto cualquiera del plano, la coordenada r es la distancia del punto al polo, y la θ es el ángulo (medido en sentido contrario a las agujas del reloj) entre el eje polar y la línea que une el polo y el punto, como se muestra en la figura 1. Las coordenadas cilíndricas y las coordenadasesféricas son dos extensiones distintas de las coordenadas polares en tres dimensiones.

r = magnitud (longitud del segmento) θ = dirección (ángulo) Las coordenadas polares son de gran utilidad para dibujar funciones definidas como distancias a un punto fijo. Por ejemplo, la ecuación de un círculo de radio d dada en coordenadas cartesianas es x2 + y2 = d2; mientras que en coordenadas polares el mismocírculo de radio d es simplemente r = d.

4

Al comparar los sistemas de coordenadas rectangular y polar es importante notar que el origen y el eje x positivo de las coordenadas rectangulares coinciden con el polo y el eje polar de las coordenadas polares respectivamente. Figura 2

Como se mencionó antes, en el sistema de coordenadas polares un punto P se representa por medio de un parordenado de números de la forma (r,Ө). Si r > 0 entonces r es la distancia entre el punto (P) y el polo (O) “r = D(P,O)” y Ө es el ángulo (en grados ó radianes) formado por el eje polar y un rayo que parte del polo y pasa por el punto. Al punto (r,Ө) lo llamamos coordenadas polares del punto . Como es costumbre un ángulo es positivo si es generado por una rotación del eje polar en sentido contrario a...