Coordenadas polares

Coordenadas polares.

El sistema de coordenadas polares es importante debido a que ciertas cuervas tienen ecuaciones mas simples en coordenadas polares. Ademas, las tres conicas (parabola, elipse e hiperbola) pueden representarse por medio de una ecuación. Esta ecuación se aplica en fisica para deducir las leyes de Kepler, y en astronomia, en el estudio de movimiento de los planetas.

Lascoordenadas cartesianas son numeros, la abscisa y la ordenada, que representan la distancia dirigida a partir de dos rectas fijas. Las coordenadas polares consisten en una distancia dirigida y la medida de los angulos en relacion a un punto fijo y un rayo fijo o semirecta). El punto fijo se denomina polo (u origen) y se representa mediante la letra O. el rayo fijo recibe el nombre de eje polar (orecta polar), la cual se denota por OA. El rayo OA usualmente se dibuja horizontal y se prolonga indefinidamente çhacia la derecha.

Sea P cualquier punto del plano diferente de O. Sea θ la medida en radianes del angulo dirigido AOP, positivo cuando se mide en el sentido contrario al giro de las maneciollas del reloj y negativo en el caso contrario, que tiene su lado inical el rayo OA y como sulado final OP. Si r es la distancia no dirigida de o a P (esto es, r= OP), un conjunto de coordenadas polares de P esta dado por r y θ, y se denotan estas coordenadas como (r,θ).

Ejemplo 1:
Localice cada uno de los siguientes puntos que tiene conjuntos dados de coordenadas polares: (a) (2, ¼¶); (b) (5,½¶); (c) (1,2/3¶); (e)(4-1/3¶); (f)(5/2,-¶)

Solucion:
(a) El punto (2,¼¶) sedetermina al dibujar primero el angulo que tiene una medida en radianes de ¼¶, cuyo vértice esta en el polo y su lado inicial sobre el eje polar. El punto en el lado terminal que esta a 2 unidades del polo es el punto (2,¼¶), consulte la figura 2. De manera semejante se obtienen los puntos que se muestran en las figuras 28b)-(f).

A menudo el angulo se mide en radianes: de modo que un comnjunto decoordenadas polares de un punto es un par ordenado de numeros reales. Por cada par ordenado de números reales existe un único punto al que le corresponde este conjunto de coordenadas polares. Sin embargo, se ha visto que un punto particular puede representarse mediante un numero ilimitado de pares ordenados de números reales. Si el punto P no es el polo, y r y θ se restringen de modo que r >0 y0≤ θ< 2¶, entonces P tiene un único conjunto de coordenadas polares.
En ocasiones se desea hacer referencia a las coordenadas cartesianas rectangulares y coordenadas polares de un punto. Para lograr esto, se considera el origen del primer sistema como el polo del segundo sistema, el eje polar como la parte positiva del eje x y el rayo para el cual θ=½¶ como la parte positiva del eje y.Suponga que P es uin punto cuya representación en el sistema de coordenadas cartesianas rectangulares es (x, y), y (r, θ) es la representación en el sistema de coordenadas polares de P. como caso particular, suponga que P esta en el segundo cuadrante y r>0, como se muestra en la figura 8. entonces

de este modo,


estasecuaciones se cumplen para P en cualquier cuadrante y r positivo o negativo. De las ecuaciones no solo se pueden obtener las coordenadas cartesianas rectangulares de un punto cuando se conocen las coordenadas polares, si nbo que tambien se puede obtener una ecuación polar de una curva a partir de su ecuación cartesiana rectangular .

con el fin de deducir las ecuaciones que proporcionen un conjunto decoordenadas polares de un punto cuando se conocen sus coordenadas cartesianas rectangulares, se elevan al cuadrado los dos miembros de cada ecuación de (1), se iguala a la suma de los miembros izquierdos a la suma de los miembros derechos, y se resuelve para r, obteniendose:

Al dividir el miembro las ecuaciones de (1) se tiene:

ejemplo ilustrativo 3

La figura 9 muestra el punto cuya...