coordenadas polares

¿Qué es el sistema de coordenadas polares?
R-En matemáticas, el sistema de coordenadas polares es una de dos dimensiones del sistema de coordenadas en el que cada punto en un plano está determinado por una distancia de un punto fijo y un ángulo de una dirección fija.
El punto fijo (similar a la del origen de un sistema cartesiano ) se llama el polo, y los rayos del polo con la dirección fijaes el eje polar. La distancia desde el polo se llama la coordenada radial o radio, y el ángulo es la coordenada angular, ángulo polar , o acimut.
¿Cómo se realizan las conversiones de coordenadas?
R- En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y elángulo  del vector de posición sobre el eje x.
Conversión de coordenadas polares a rectangulares
Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo  sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:


Conversión de coordenadas rectangulares a polares
Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y), se tiene que la coordenada polar r es:
 Aplicandoel Teorema de Pitágoras
Para determinar la coordenada angular θ, se deben distinguir dos casos:
1. Para  = 0, el ángulo θ puede tomar cualquier valor real
2. Para  ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debe limitarse a un intervalo de tamaño 2π. Por convención, los intervalos utilizados son [0, 2π) y (−π, π].
Para obtener θ en el intervalo [0, 2π), se deben usar las siguientes fórmulas( denota la inversa de la función tangente)

Para obtener θ en el intervalo (−π, π], se deben usar las siguientes fórmulas:

o equivalentemente

Muchos lenguajes de programación modernos evitan tener que almacenar el signo del numerador y del denominador gracias a la implementación de la función atan2, que tiene argumentos separados para el numerador y el denominador. En los lenguajes que permitenargumentos opcionales, la función atan puede recibir como parámetro la coordenada x(como ocurre en Lisp)
¿Cuáles son los criterios de simetría en las coordenadas polares?
R-SIMETRIA CON RESPECTO AL EJE POLAR
Criterio I: una gráfica  es simétrica con respecto al eje polar si 
En palabras si al cambiar  por - se obtiene el mismo , la gráfica será simétrica al eje polar
Si el punto ( está en lagráfica el punto  también lo está.
cos( pero si  como  el criterio allí no se cumple.
Note que con este criterio todas las gráficas que involucren cos son simétricas con el eje polar y que esto permite hacer tablas con menos datos.
SIMETRÍA CON EL EJE (O CON EL EJE  ):
Criterio I: Una gráfica  es simétrica con respecto al eje  si 
En palabras si al cambiar  por  se obtiene el mismo valorde  la gráfica tendrá ésta simetría.
Si el punto  está en la gráfica el punto  también lo está.
Por ejemplo para  como  ésta gráfica será simétrica con respecto a 
En términos de la hechura de la tabla para graficar si es necesario se le dan a  valores entre - y  y luego se calca lo obtenido, gracias a la simetría.

-
-
-
0




4
3.414
3
2
1
0.585
0
SIMETRÍA CON RESPECTO AL ORIGEN (AL POLO )
Criterio I: Una gráfica  es simétrica con respecto al polo si al cambiar  por - se
obtiene el mismo  es decir si el punto  está en la gráfica el punto (
que es simétrico con respecto al origen también lo está.
Por ejemplo  luego esta gráfica es simétrica con respecto al polo
Pero hay que observar que sólo las gráficas que contienen  satisfacen este criterio, por lo cual
Aprovechandoel hecho de que para un punto en coordenadas polares hay varias maneras de dar
Su representación, un punto es simétrico al polo si el punto  está en la gráfica, el punto
 También lo está ( observe la gráfica anterior ) por lo tanto se tiene
Criterio II: una gráfica es simétrica con el origen si 
Por ejemplo  no satisface el criterio de simetría al polo sin embargo
 luego si satisface...