Coordenadas Polares
Páginas: 4 (798 palabras)
Publicado: 28 de octubre de 2012
Posición y velocidad en coordenadas polares
La posición del punto P es
x=r•cos
y=r•sen
Expresamos la velocidad de la partícula en coordenadas polares
CALCULAMOS LAS COMPONENTESRECTANGULARES DE LOS VECTORES UNITARIOS R Y .
vemos que
Las componentes del vector velocidad en coordenadas polares son, por tanto
La energía y el momento angular encoordenadas polares
La expresión de la energía en coordenadas polares es
Donde k/r es la energía potencial correspondiente a la fuerza conservativa F=k/r2.
Con k=-GMm si la interacción es gravitatoriasi la interacción es de tipo eléctrico
• K ES NEGATIVO SI LA FUERZA ES ATRACTIVA
• K ES POSITIVO SI LA FUERZA ES REPULSIVA
Expresamos el momento angular L en coordenadas polares
Despejandod /dt en la expresión del momento angular y la introducimos en la expresión de la energía. Tenemos dos ecuaciones
Ecuación de la trayectoria
Eliminamos dt entre estas dosecuaciones para obtener la ecuación de la trayectoria
Para integrar se hace el cambio u=1/r
Tenemos una integral del tipo
con a=L2/(2m), b=k, c=E
Hacemos el cambio
Ahora, vamosdeshaciendo los cambios
Hay dos posibles soluciones según el signo de b o de k.
Si k o b es positivo
Si k o b es negativo
La primera, es la ecuación de una hipérbola en coordenadaspolares
La segunda, es la ecuación de una cónica (elipse, parábola o hipérbola) dependiendo del valor de la excentricidad.
VELOCIDAD ANGULAR, W
EN EL INSTANTE T' EL MÓVIL SE ENCONTRARÁ EN LAPOSICIÓN P' DADA POR EL ÁNGULO Q '. EL MÓVIL SE HABRÁ DESPLAZADO DQ=Q ' -Q EN EL INTERVALO DE TIEMPO DT=T'-T COMPRENDIDO ENTRE T Y T'.
Se denomina velocidad angular media al cociente entre le desplazamientoy el tiempo.
Como ya se explicó en el movimiento rectilíneo, la velocidad angular en un instante se obtiene calculando la velocidad angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero....
La posición del punto P es
x=r•cos
y=r•sen
Expresamos la velocidad de la partícula en coordenadas polares
CALCULAMOS LAS COMPONENTESRECTANGULARES DE LOS VECTORES UNITARIOS R Y .
vemos que
Las componentes del vector velocidad en coordenadas polares son, por tanto
La energía y el momento angular encoordenadas polares
La expresión de la energía en coordenadas polares es
Donde k/r es la energía potencial correspondiente a la fuerza conservativa F=k/r2.
Con k=-GMm si la interacción es gravitatoriasi la interacción es de tipo eléctrico
• K ES NEGATIVO SI LA FUERZA ES ATRACTIVA
• K ES POSITIVO SI LA FUERZA ES REPULSIVA
Expresamos el momento angular L en coordenadas polares
Despejandod /dt en la expresión del momento angular y la introducimos en la expresión de la energía. Tenemos dos ecuaciones
Ecuación de la trayectoria
Eliminamos dt entre estas dosecuaciones para obtener la ecuación de la trayectoria
Para integrar se hace el cambio u=1/r
Tenemos una integral del tipo
con a=L2/(2m), b=k, c=E
Hacemos el cambio
Ahora, vamosdeshaciendo los cambios
Hay dos posibles soluciones según el signo de b o de k.
Si k o b es positivo
Si k o b es negativo
La primera, es la ecuación de una hipérbola en coordenadaspolares
La segunda, es la ecuación de una cónica (elipse, parábola o hipérbola) dependiendo del valor de la excentricidad.
VELOCIDAD ANGULAR, W
EN EL INSTANTE T' EL MÓVIL SE ENCONTRARÁ EN LAPOSICIÓN P' DADA POR EL ÁNGULO Q '. EL MÓVIL SE HABRÁ DESPLAZADO DQ=Q ' -Q EN EL INTERVALO DE TIEMPO DT=T'-T COMPRENDIDO ENTRE T Y T'.
Se denomina velocidad angular media al cociente entre le desplazamientoy el tiempo.
Como ya se explicó en el movimiento rectilíneo, la velocidad angular en un instante se obtiene calculando la velocidad angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero....
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