coordenadas polares

1) COORDENADAS CARTESIANAS.


Desde el punto de vista de la geometría analítica, un sistema de coordenadas es uno de referencia, cuyos ejes permiten ubicar puntos o vectores en el plano o el espacio. Para la mecánica, un sistema de coordenadas corresponde a un marco de referencia inercial, en virtud del cual podrán establecerse las principales condiciones de equilibrio estático

Plano (x,y)
Ejes coordenados
Espacio (x, y, z)

Los sistemas coordenados requieren de magnitudes escalares (simples números) o bien, de magnitudes vectoriales (magnitudes que poseen dirección y sentido), según el problema matemático que se analice.

El eje X recibe el nombre de abscisa, el eje Y corresponde a la ordenada, y el eje Z muy frecuentemente recibe el nombre de cota.

Ubicación depuntos en el plano y espacio :





Ubicación de vectores en el espacio:



Se dice que una figura es simétrica cuando corta sobre ella una línea recta que la divide en partes iguales (magnitudes iguales); el plano cartesiano permite ubicar puntos y vectores en diferentes cuadrantes, que por su ubicación cumplen precisamente con la definición de simetría.



2) COORDENADAS POLARES.Las coordenadas polares son una extensión de las coordenadas cartesianas; dan su posición relativa a un punto de referencia fijo O, llamado el polo y a un rayo dado, llamado eje polar que parte de O.

Si P es cualquier punto del plano, r la distancia de O a P, α (medido en radianes) el ángulo formado por la recta OP y el eje polar. Entonces P está representado por el par ordenado (r, α)que son las coordenadas polares de P.

Por convención, α es positivo si se mide en dirección contraria al movimiento de las agujas del reloj y α es negativo si se mide a favor del movimiento de las agujas del reloj.

Si P = O, la distancia de O a P es cero, es decir r = 0 y el par ordenado (0, α) es el polo para todo α. Los puntos (r, α) y (- r, α) están en la misma recta que pasa por O y a lamisma distancia r de O pero en semirrectas opuestas.

Si r α ≥0, entonces (r, α) está en el mismo cuadrante que α.
Si r α< 0, entonces (r, α) está en el cuadrante opuesto respecto del polo, es decir (- r, α) es el mismo punto que (r, α + α).

RELACION DE COORDENADAS POLARES CON COORDENADAS CARTESIANAS.


El polo corresponde al origen del sistema. El eje polar con el semieje positivo de lasx positivas.
Si el punto P tiene coordenadas cartesianas (x, y) y polares (r, α), entonces de acuerdo con la figura


Podemos establecer las coordenadas polares desde las coordenadas cartesianas, usando las ecuaciones polares.


Se tiene entonces:



Para representar un punto en el plano, conociendo sus coordenadas polares, no es necesario hallar sus coordenadas rectangulares; se lopuede hacer directamente. Este trabajo puede ser muy sencillo si se dispone de un plano que tenga como referencia ángulos y magnitudes.
Un plano con estas características se lo llama Sistema Polar o Plano Polar. Consiste de circunferencias concéntricas al origen y rectas concurrentes al origen con diferentes ángulos de inclinación.
Al eje horizontal se lo llama “Eje Polar”, al eje vertical selo llama “Eje 2/π”. El punto de intersección entre estos dos ejes se lo llama
“Polo”.
El trazado de puntos en el sistema polar se facilita considerablemente, consiste en una serie de circunferencias rectas congruentes. Las circunferencias tienen un centro común en el polo y sus radios son múltiplos enteros del radio más pequeño tomado como unidad de medida. Todas las rectas pasan por el polo ylos ángulo formados por cada par de rectas consecutivas son iguales.
Las coordenadas del polo (O) pueden representarse por (0, θ), donde θ es un ángulo cualesquiera.

2.1 ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES

Una ecuación en coordenadas polares la presentaremos de la forma r = f (θ). Por tanto para obtener la gráfica, en primera instancia, podemos obtener una tabla de valores para ciertos...