Coordenadas Polares

Integrales Dobles en Coordenadas Polares
Dennys Alejandro Montero Huilca, Johnny Eduardo Vallejo Rodríguez, Christian Geovanny Masson Arias, Cristian Atilio Rojas Quiroz, Adrián Ernesto GuerreroDreher
Escuela de Ingeniería Mecánica, Escuela Superior Politécnica de Chimborazo
Riobamba, Ecuador
demoh_94@hotmail.com
johnnyvr93-@hotmail.com
cg-masson@hotmail.com
klever.el-unico@hotmail.comadrian_fox6@hotmail.es

Este documento presenta una diferente manera de resolver integrales dobles mediante las coordenadas polares y sus casos encontrados.
I. INTRODUCCIÓN
Hasta el momento hemos tratadointegrales dobles en las cuales la región de la forma o es una región que se encuentra entre dos funciones definida por .
Ahora, tratemos integrales dobles las cuales se van a evaluar sobre unaregión circular o sobre una región comprendida entre dos circulares o parte de los círculos.
II. INTEGRALES DOBLES EN COORDENDAS POLARES
En esta sección veremos cómo se realiza el cambio de variables deuna función f(x,y) de las coordenadas (x,y) a las coordenadas polares (r,0). La transformación de las cartesianas a las polares se ha estudiado en el libro de Análisis Matemático II para estudiantesde Ciencia e Ingeniería, aquí veremos su efecto sobre las integrales dobles.

Consideremos una región D c R2 acotada por a ≤ 0 ≤ s y a ≤ r ≤ b; como en Fig. 1

Fig. 1 Región D en el plano XY
Trazandorectas a través de del polo y círculos con centro en el polo, se obtiene una partición P de la región D, que viene a ser una red de “n” regiones llamadas rectángulos curveados, como en Fig. 2

Fig. 2Partición de la región D

El área del i-esimo rectángulo curveado es igual a la diferencia de las áreas de los sectores circulares, es decir:


Donde:

Consideremos una función f: D c R2->Rcontinua sobre D y sea () un punto en la i-estima sub-región con , luego formando la suma de Riemann se tiene:

Tomando límite cuando se tiene:

A este límite denotaremos por dA, es decir:


Observación:...