Coordenadas Polares

Posición y velocidad en coordenadas polares

La posición del punto P es
x=r·cos
y=r·sen
Expresamos la velocidad de la partícula en coordenadas polares



Calculamos las componentes rectangularesde los vectores unitarios r y  .

vemos que

Las componentes del vector velocidad en coordenadas polares son, por tanto

 
La energía y el momento angular en coordenadas polares
La expresión de laenergía en coordenadas polares es

Donde k/r es la energía potencial correspondiente a la fuerza conservativa F=k/r2.
Con k=-GMm si la interacción es gravitatoria
si la interacción es de tipoeléctrico
k es negativo si la fuerza es atractiva
k es positivo si la fuerza es repulsiva
Expresamos el momento angular L en coordenadas polares

Despejando d /dt en la expresión del momento angular y laintroducimos en la expresión de la energía. Tenemos dos ecuaciones

 

Ecuación de la trayectoria
Eliminamos dt entre estas dos ecuaciones para obtener la ecuación de la trayectoria

Para integrar sehace el cambio u=1/r

Tenemos una integral del tipo

con a=L2/(2m), b=k, c=E
Hacemos el cambio


Ahora, vamos deshaciendo los cambios

Hay dos posibles soluciones según el signo de b o de k.
Si k o bes positivo

Si k o b es negativo


La primera, es la ecuación de una hipérbola en coordenadas polares
La segunda, es la ecuación de una cónica (elipse, parábola o hipérbola) dependiendo del valor dela excentricidad  .
 







Graficando un punto en coordenadas polares

Un punto en el plano se encuentra en la intersección de un círculo (r=cte) con un rayo (ángulo=cte). Las coordenadas polares deun punto P en el plano son el par ordenado (r,A).
 
    Observa cuales son las coordenadas polares del punto y dónde se encuentra dicho punto.
 
 


 
 
 
Convenciones: 
1) Los ángulos A  > 0 semiden en el sentido opuesto a las manecillas del reloj a partir del eje polar, en tanto que los ángulos negativos se miden en el sentido de las manecillas de reloj. 
  
2) Para localizar el...