Coordenadas

Bases ordenadas y coordenadas

1. Sean S1 y S2 = {(1, 0, 1), (−1, 1, 0), (0, 0, 1)} dos bases ordenadas de R3 y sea   1 −1 1 [I]S2 =  0 −2 1  S1 1 1 1 la matriz de cambio de la base S1 a labase S2 (a) Determine la base S1 Soluci´n: o Sea S1 = {u1 , u2 , u3 }. Si la matriz de cambio de base es [I]S2 entonces se tiene: S1 u1 u2 u3 = 1(1, 0, 1) + 0(−1, 1, 0) + 1(1, 1, 1) = (2, 1, 2) = −1(1,0, 1) − 2(−1, 1, 0) + 1(1, 1, 1) = (4, −1, 0) = 1(1, 0, 1) + 1(−1, 1, 0) + 1(1, 1, 1) = (1, 2, 2)

De donde : S1 = {(2, 1, 2), (4, −1, 0), (1, 2, 2)} (b) Para α = (1, 2, 3), determine [α]S1 Soluci´n:o Si [α]S1   a = b c

−→ (1, 2, 3) = a(2, 1, 2) + b(4, −1, 0) + c(1, 2, 2)   1 = 2a + 4b + c 2 = a − b + 2c  3 = 2a + 2c a=
3 2

−→

−→ −→ [α]S1  3/2 = −1/2 0 

, b = −1 , c = 0 22. Sea β = {(1, 0, −1), (−1, 1, 0), (1, 1, 1)} una base ordenada de R3 y sea µ ∈ R3 tal que:   6 [µ]β = −3 2 Encuentre µ. Soluci´n: o Si  6 [µ]β = −3 −→ µ = 6(1, 0, −1) − 3(−1, 1, 0) + 2(1,1, 1) = (11, −1, −4) 2 

3. Sea C = {1, x, x2 } y S2 = {1 + x + x2 , −2 − x + x2 , −1 + x + x2 } dos bases de R2 [x]. Hallar [I]C2 la matriz cambio de base desde S2 a la base C S Soluci´n: o Lascolumnas Cj (1 ≤ j ≤ 3) de la matriz [I]C2 son tales que : S   1 −2 −1 Cj = [uj ]C donde uj ∈ S2 −→ [I]C2 =  1 −1 1  S 1 1 1

4. Sea V un k − e.v y sea α = {v1 , v2 , · · · , vn } una baseordenada de V. Se define
i

β =

{w1 , w2 · · · , wn } (otra base de V )como wi =
j=1

jvj

(a) Determine [I]α β Soluci´n: o De la definici´n de β se tiene: o
1

w1 =
j=1 2

jvj = v1 = 1v1 +0v2 + · · · + 0vn jvj = v1 + 2v2 = 1v1 + 2v2 + 0v3 + · · · + 0vn
j=1 3

w2 = w3 = . . . wn =
j=1 j=1

jvj = v1 + 2v2 + 3v3 = 1v1 + 2v2 + 3v3 + 0v4 + · · · + 0vn . . . jvj = v1 + 2v2 + 3v3 + · ·· + nvn    1 2 0 . . . 0 1 2 0 . . . 0 ···  1 2 3 . . . n ··· ··· 3 . . . ··· .. .   2     3         n      calcular [v]β   1    1 2 3 . . . n       

n

 ...