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Universidad Carlos III de Madrid

Curso 2008/09

Ingeniería de Telecomunicación
FÍSICA II (Electromagnetismo)

Departamento de Física

Sistemas de Coordenadas

• Cartesianas
•Cilíndricas
• Esféricas

FISICA II. Departamento de Física. UC3M

(x, y, z)
(ρ, ϕ, z)
(r, θ, ϕ)

I. Coordenadas cartesianas o rectangulares

z

x

r
i,

r
k

Z
r
r

Ejes: X, Y, Z
Pr
j

y

Y

X

Vector de posición del punto P:

Coordenadas del punto P :
P(x, y, z)
r r r
Vectores unitarios: i , j , k
r r r
ux , u y , uz
x, y , z
ˆ ˆ ˆ
r
k
r
r
j
i

r
rr
r
r = ( x, y , z ) = x i + y j + z k
3

FISICA II. Departamento de Física. UC3M

Z

dz

I. Coordenadas cartesianas o rectangulares

r
dl

I.1 Elementos de longitud

dy

Y

dxr
r
r
r
dl = dx u x + dy u y + dz u z
I.2 Elementos de superficie

X

Z

r
r
dS2 = dx dz u y
dz
dx

r
r
r
r
dS = dS x u x + dS y u y + dS z u z
dy

r
dS

Y
r
r
dS3 =dx dy u z

dz
dx

X

r
r
dS1 = dy dz u x

dy

FISICA II. Departamento de Física. UC3M

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I. Coordenadas cartesianas o rectangulares

Z

dy

I.3 Elemento de volumen

dV = dxdy dz

dz
dx
Y
X

dy

Elemento de volumen centrado en el punto P
r
cuyo vector de posición es r :

r
dV (r ) = dx dy dz

P
dz

r
r

dx

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FISICA II. Departamento de Física.UC3M

II. Coordenadas cilíndricas

Z

z

Coordenadas del Punto P :
P = (ρ, ϕ , z )

P

ρ∈ [0, ∞) ϕ∈ [0, 2π) z∈ (-∞ , ∞)

r
r

X

φ

ρ

r
uz
r
uϕ
r
uρ

Y
Relación entrelas coordenadas
cilíndricas y cartesianas:
x = ρ cos ϕ

y = ρ sen ϕ
z=z

r
r
r
Vectores unitarios: u ρ , uϕ , u z
r
r
r
Vector de posición del punto P: r = ρ u ρ + z u z
FISICA II.Departamento de Física. UC3M

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II. Coordenadas cilíndricas

Z

II.1 Elementos de longitud

dz

z

X

ϕ

Z

dϕ

ρ

Y
r
dz u z

dρ

X

r
dl

r
r
r
r
d l = dρ u ρ +...