Copia De Demostracion Del Principio De Superposicion En Ecuaciones No Homogeneas

Demostración del principio de superposición en ecuaciones no homogéneas:

Para demostrarlo debemos explicar un poco de noción sobre operadores:

Operadores Diferenciales:
En cálculo ladiferenciación podemos denotarla como D (letra “d” mayúscula) esto es:


El símbolo D es llamado operador diferencial porque transforma una función diferenciable en otra función.
Ejemplos:



Lasderivadas de orden superior son expresables fácilmente de la siguiente manera:



Y en general:


Donde y representa una función diferenciable.
También es aplicable a funciones polinomiales, engeneral el operador D en orden n se define:

(1)

Como consecuencia de dos propiedades básicas de la diferenciación:



El operador diferencial L tiene una propiedad de linealidad; es decir,L, operando sobre una combinación lineal de dos funciones diferenciables, es lo mismo que una combinación lineal de L operando sobre las funciones individuales. Esto es:

(2)


A causa de lapropiedad (2) se dice que el operador diferencial de orden n, L, es un operador lineal.
Toda ecuación diferencial se puede escribir en notación D:


Las ecuaciones:
(homogénea)

Y

(nohomogénea)

Pueden escribirse de forma compacta así:



Principio de superposición:
Sean k soluciones particularesde la ecuación (1), diferencial lineal no homogénea de orden n en el intervalo I quea su vez corresponden a k funciones distintas Esto es, supongamos que representa una solución particular de la ecuación diferencial correspondiente



En donde entonces:



Es una soluciónparticular de:


Demostración:
Probaremos el caso de que k=2.
Sea L el operador diferencial definido en (2) y sean y soluciones particulares de las ecuaciones no homogéneas y ,respectivamente.
Si definimos demostraremos que es una solución particular de

De nuevo, el resultado es consecuencia de la linealidad del operador L:


Que es lo que queríamos demostrar.
Fuente:...