copo de nieve de koch

El copo de nieve de Koch, también llamado estrella de Koch, es una curva cerrada continua pero no diferenciable en ningún punto descrita por el matemático sueco Helge von Koch en 1904 en un artículotitulado "Acerca de una curva continua que no posee tangentes y obtenida por los métodos de la geometría elemental".
En lenguaje actual, diríamos que es una curva fractal. Su construcción más simplese realiza mediante un proceso iterativo que se inicia partiendo en tres un segmento de recta e insertando dos más en el tercero medio a manera de un triángulo equilátero, el proceso se repiteinfinidad de veces. La curva de Koch es un caso particular de curva de De Rham.
Construcción
Veamos el proceso que lleva a sustituir cada lado por la llamada curva de Koch: Se toma un segmento, se lodivide en tres partes iguales, se remplaza la parte central por dos partes de igual longitud haciendo un ángulo de 60 grados. Luego, con los cuatro segmentos, se procede de la misma manera, lo que da lugara 16 segmentos más pequeños en la segunda iteración. Y así sucesivamente. La figura representa las seis primeras etapas de la construcción. La última curva es una buena aproximación de la curvafinal.
Construcción de la curva de Koch

1a iteración.
2a iteración.
3a iteración.


4a iteración.
5a iteración.
6a iteración.

Tres de estas curvas unidas forman el copo de nievede Koch:

Representación como sistema Lindenmayer
La curva de Koch se puede expresar en el sistema Lindenmayer
Alfabeto : F
Constantes : +, −
Axioma : F++F++F
Reglas de producción:F → F−F++F−F
Aquí, F significa «continua dibujando», + «gira 60 grados a la derecha, y - «gira 60 grados a la izquierda»
Propiedades
Longitud
Si se considera de nuevo la primera figura,notamos que para pasar de una línea a la siguiente se remplaza tres segmentos por cuatro de igual longitud, o sea que la longitud total es multiplicada por 4/3. Después de n pasos iterativos en la...