Cordenadas Homogeneas

Coordenadas homogéneas
• • • Una matriz de rotación 3 x 3 no nos da ninguna posibilidad para la traslación y el escalado. Introducimos una cuarta coordenada
– p(x,y,z) p(wx,wy,wz,w) , donde w tiene un valor arbitrario y representa un factor de escala.

Vector en coordenadas homogéneas:

 x  aw a   y  bw b  p= = =   z   cw   c         w  w   1 
• •Ejemplo: 2i+3j+4k [2,3,4,1]T = [4,6,8,2] T = [-6,-9,-12,-3] T. En general, la representación mediante coordenadas homogéneas de la localización de sólidos en un espacio n-dimensional se realiza a través de coordenadas de un espacio (n+1)-dimensional. 94

Matriz de transformación homogénea (I)
• Matriz 4x4 que representa la transformación de un vector de coordenadas homogéneas de un sistema decoordenadas a otro.

R 3×3 T=  f1×3
•

p 3×1   Rotación Traslación  = w1×1  Perspectiva Escalado  

En robótica la submatriz f1x3, que representa una transformación de perspectiva, es nula; y la submatriz w1x1, que representa un escalado global, es la unidad:

R 3×3 T=  0

p 3×1  Rotación Traslación  =  1   0 1 

que representa la orientación y posición de un sistemaOUVW rotado y trasladado con respecto al sistema de referencia OXYZ.
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Matriz de transformación homogénea (II)
• Aplicaciones
– Representar la posición y orientación de un sistema girado y trasladado OUVW, con respecto a un sistema fijo de referencia OXYZ, que es lo mismo que representar una rotación y una traslación realizada sobre un sistema de referencia. – Transformar un vectorexpresado en coordenadas con respecto a un sistema OUVW, a su expresión en coordenadas del sistema de referencia OXYZ. – Rotar y trasladar un vector con respecto a un sistema de referencia fijo OXYZ.
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Matriz de transformación homogénea: Traslación (I)
• Traslación
– Para un sistema OUVW trasladado únicamente un vector p = pxi + pyj + pzk con respecto al sistema fijo OXYZ. La matriz homogéneaserá la matriz básica de traslación:

– Un vector cualquiera r, representado en OUVW por ruvw , tendrá como coordenadas en el sistema OXYZ:

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Matriz de transformación homogénea: Traslación (II)
• Ejemplo 1.
– Tenemos un sistema O´UVW que está trasladado un vector p(6,-3,8) con respecto del sistema OXYZ. Calcular las coordenadas (rx, ry ,rz) del vector r cuyas coordenadas con respecto alsistema O´UVW son ruvw(-2,7,3).

 rx  1  r  0  y =   rz  0     1  0

6   − 2  4  1 0 − 3  7   4    =   0 1 8   3  11     0 0 1  1   1  0 0

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Matriz de transformación homogénea: Traslación (III)
• Ejemplo 2.
– Calcular el vector r’xyz resultante de trasladar al vector rxyz(4,4,11) según la transformación T(p) con p(6,-3,8).

′  rx 1  r ′  0  y =   rz′  0     1  0

6   4  10 1 0 − 3  4   1    =   0 1 8  11 19     0 0 1  1   1  0 0

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Matriz de transformación homogénea: Rotación (I)
• • Supongamos que el sistema O’UVW sólo se encuentra rotado con respecto al sistema OXYZ. Las submatríz de rotación R3x3 será la que defina la rotación. Se pueden definir tres matriceshomogéneas básicas de rotación según el eje sobre el que se realice dicha rotación.

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Matriz de transformación homogénea: Rotación (II)
• Ejemplo 1.
– Tenemos un sistema OUVW que se encuentra girado -90º alrededor del eje OZ con respecto al sistema OXYZ. Calcular las coordenadas del vector rxyz si ruvw=[-2,7,3]T.

 rx   0 r  − 1  y =   rz   0    1  0

1 0 0  4   8  0 00  8   − 4   =   0 1 0 12  12      0 0 1  1   1 

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Combinación de rotaciones y traslaciones (I)
• Es posible combinar rotaciones y traslaciones básicas multiplicando las matrices correspondientes. • El producto NO es conmutativo:
– Rotar y después trasladar ≠ Trasladar y después rotar.

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Combinación de rotaciones y traslaciones (II)
• Rotación...