Cordenadas polares

COORDENADAS POLARES.
Veamos la siguiente gráfica:

De ella podemos decir que x = rCos(q) y y = rSen(q), por tanto, podemos representar el punto P(x, y)mediante otro sistema denominado coordenadas polares que toma en cuenta la magnitud r y el ángulo q, así, el punto P(x, y) lo podemos escribir como P(r, q).
13.LUGAR GEOMÉTRICO.
El ligar geométrico lo podemos definir como el conjunto de puntosy solo de aquellos puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación f(x, y)=0, y además, cualquier punto que se mueve en el plano describe una curva. El hallar la ecuación de la curva y todas sus propiedades es un problema de lugar geométrico, donde se busca una expresión matemática que describa la situación.
13.1.Lugar geométrico de la recta en 3 dimensiones.
Dados dos puntos fijos la recta sedescribe por aquellos puntos que se mueven a lo largo del vector que describen esos dos puntos en dirección contraria.
13.2.Ecuaciones paramétricas.
La recta queda determinada por un punto fijo P0 y un vector ^v = a^i + b^j + c^k, el conjunto de los puntos P, tales que PoP es paralelo a ^v, es decir, que satisfacen d(P0, P) = t^v para algún número real t.
Si r = OP y r0 = OP son los vectores deposición de P y P0, respectivamente, entonces:
è P0P = t^v
è P0P = r – r0
è r = r0 + t^v (1)
Si escribimos r = (x, y ,z) y r0 = (x0, y0. z0) e igualamos los componentes en (1) tenemos,
x = x0 + at; y = y0 + bt ; z = z0 + ct
y éstas se denominan ecuaciones paramétricas (vea la gráfica).

Si despejamos t de las ecuaciones paramétricas obtenemos las ecuaciones simétricas o estándar:
(X –x0) / a = (y – y0) / b = (z – z0) / c
14.DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.
Para hallar la distancia de un punto P(r, s) a una recta dada tenemos dos alternativas, calcularla mediante:
P(r, s) Recta L: Ax + By + C = 0
d(P, L) = + Ar + Bs + C / (A² + B²)½ (1)
y otra alternativa es calcularla de forma vectorial la cual está dada por:
d(P, L) = | ^L × ^K | / | ^L |, donde K y L son vectoresdeterminados, aquí el procedimiento que se sigue es obtener los vectores K y L, realizar el producto vectorial por medio de determinantes y llegar a la fórmula (1).
15.EL PLANO.
Primero definamos lo que es producto cruz, sean vectores ^v = (x1, x2, x3 ) y ^w = (y1, y2, y3), entonces lo definimos por medio del cálculo del determinante siguiente:
el cual también es un elemento de IR³.
Ahora sídefinimos al plano, un plano en tres dimensiones es el lugar geométrico de los puntos, por los que u punto móvil se traslada de tal forma que el vector de él a un punto fijo de él es siempre perpendicular a un vector fijo llamado normal al plano. Consideremos la ecuación del plano como Ax + By + Cz + D = 0 con A, B, C no todas nulas.
Para dos vectores dados cualesquiera ^v y ^w su producto cruz (^v ×^w) es un vector perpendicular a ^v y a ^w y sus números directores son los mismos que los de la normal al plano.

Concepto
Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas para definir la posicion de un punto en un espacio bidimensional consistente en un ángulo y una distancia, definido por un origen O y una linea semi-infinita L saliendo del origen.A L se le conoce tambien como ejepolar.

Sistema de coordenadas polares con varios ángulos medidos en grados.

Definamos un sistema ortonormal con eje de abscisas X y eje de ordenadas Y. Tracemos un vector centrado en el origen y acostado en el eje de las abscisas, y de longitud r. Si ahora decidimos inclinarlo con un ángulo {$\large \theta$};, tendremos un vector definido por las variables r y{$\large \theta$}. Es decir, para definir un punto en el plano por ejemplo podemos, bien definir un par ordenado (x,y) en coordenadas cartesianas, bien dar un largo r de vector y un ángulo {$\large \theta$}; en coordenadas polares. Ambas precisan un mismo punto en el plano.
En el sistema de coordenadas polar, el punto P es representado por un tuplo de 2 coordenadas (r,θ). Usando terminos del...