Cordpola

´Indice general
1. Coordenadas polares y graficas
1.1. Coordenadas polares . . . . .
1.2. Graficas polares . . . . . . . .
1.3. Biobliografia . . . . . . . . . .

1

polares
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

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´INDICE GENERAL

Cap´ıtulo 1
Coordenadas polares y graficas
polares
1.1.

Coordenadas polaresLas coordenadas polares consisten de una distancia dirigida y la medida de
un angulo en relacion a un punto fijo y un rayo fijo (o semirecta). El punto
punto fijo se denomina polo (u origen) y se representa mediante la letra O. El
rayo fijo recibe el nombre de eje polar (o recta polar), la cual se denota por
OA. El rayo OA usualmente se dibuja horizontal y se prolonga indefinidamente
hacia laderecha. Vea la figura 1.1:
Sea P cualquier punto del plano diferente de O. Sea θ la medida en radianes del angulo dirigido AOP , positivo cuando se mide en el sentido contrario
al giro de las manecillas del reloj y negativo en el caso contrario, que tiene
como su lado inicial el rayo OA y como su lado final el rayo OP . Si r es la
distancia no dirigida de O a P (esto es, r = OP ), un conjunto decoordenadas
polares de P esta dado por r y θ, y se denotan estas coordenadas como (r, θ)

Figura 1.1:

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CAP´ITULO 1. COORDENADAS POLARES Y GRAFICAS POLARES

EJEMPLO 1.

Localice cada uno de los siguientes puntos que
tienen los conjuntos dados dados de coordenadas polares: a = (2, 14 π),
b = (5, 21 π) y c = (4, − 14 π).

Solucion
El punto (2, 14 π) se determina al dibujar primero el angulo quetiene una medida en radianes de 14 π, cuyo vertice esta en el polo y su lado inicial sobre el
eje polar. El punto en el lado terminal que esta a 2 unidades del polo es el
punto (2, 14 π) vea la figura 1.2: De manera semejante se obtienen los puntos
restantes.

Figura 1.2:

EJEMPLO ILUSTRATIVO 1.

La figura 1.3: muestra el punto
(4, 65 π). Otro conjunto de coordenadas polares para este punto es (4,−7
π); cea
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la figura 1.4: Ademas, las coordenadas polares (4, 6 π) tambien representan el
mismo punto, como se muestra en la figura 1.5:

1.1. COORDENADAS POLARES

Figura 1.3:

Figura 1.4:

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CAP´ITULO 1. COORDENADAS POLARES Y GRAFICAS POLARES

Figura 1.5:
En realidad las coordenadas (4, 56 + 2kπ), donde k es cualquier numero
entero, proporcionan el mismo punto. Asi, un punto particulartiene un numero ilimitado de conjuntos de coordenadas polares, a diferencia del sistema
de coordenadas cartesianas rectangulares, en el cual exixte una correspondencia uno a uno entre las coordenadas y la posicion de los puntos en el plano.
Un ejemplo mas se tiene al cosiderar conjuntos de coordenadas polares para el
polo. Si r = 0 y θ es cualquier numero real, se tiene el polo designado por (0, θ).A continuacion se consideraran las coordenadas polares para las cuales r es
negativo. En este caso, en lugar de que el punto este en el lado terminal del
angulo, el punto se encuentra sobre la prolongacion del lado terminal, la cual
es el rayo desde el polo que se extiende en sentido opuesto al lado terminal. En
consecuencia, si P esta sobre la prolongacion del lado terminal del angulo cuya
medidaen radianes es (0, θ), entonces un conjunto de coordenadas polares de
P es (r, θ), donde r = − OP .

El punto (−4, − 61 π) mostrado en la figura 1.6: es el mismo punto que (4, 65 π), (4, − 76 π) y (4, 17
π) del
6
ejemplo ilustrativo 1. Otro conjunto de coordenadas polares para este punto
es (−4, 11
π), vea la figura 1.7:
6

EJEMPLO ILUSTRATIVO 2.

1.1. COORDENADAS POLARES

Figura 1.6:

Figura1.7:

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CAP´ITULO 1. COORDENADAS POLARES Y GRAFICAS POLARES

Generalmente el angulo se mide en radianes: de modo que un conjunto de
coordenadas polares de un punto es un par ordenado de numeros reales. Para
cada par ordenado de numeros reales existe un unico punto al que le corresponde este conjunto de coordenadas polares. Sin embargo, se ha visto que un
punto particular puede representarse...