corolario

El tri´ngulo ´rtico en el Court
a
o
Francisco Javier Garc´ Capit´n
ıa
a
4 de febrero de 2009
Resumen
Hacemos una lectura atenta de la secci´n The orthic triangle
o
del libro College Geometry, An Introduction to the Modern Geometry
of the Triangle and the Circle, de Nathan Altshiller-Court. En este
caso, la lectura atenta consiste en la realizaci´n de algunas figuras que
o
no vienenen el texto y en la resoluci´n de los ejercicios propuestos.
o

1.

Definici´n y propiedades
o

Definici´n. El tri´ngulo que tiene por v´rtices los pies de las alturas de un
o
a
e
tri´ngulo dado ABC se llama tri´ngulo ´rtico del ABC.
a
a
o

A
E
F
H

B

D

C
Figura 1

Propiedad 1. Los tri´ngulos AEF , DBF y DEC son semejantes al tri´ngua
a
lo ABC
1

Demostraci´n. Enefecto, por ser c´
o
ıclico el cuadril´tero BCEF , los ´ngulos
a
a
AEF y ABC son ambos complementarios del ´ngulo F EC, por lo que son
a
iguales. De igual forma, ∠AF E = ∠ABC, as´ que los tri´ngulos ABC y
ı
a
AEF son semejantes. Y lo mismo puede hacerse con los tri´ngulos DBF y
a
DEC.
Propiedad 2. Si H es el ortocentro de un tri´ngulo ABC y las alturas
a
AH, BH, CH cortan a lacircunferencia circunscrita a ABC en D , E , F ,
entonces se cumplen las igualdades: HD = HD , HE = HE , HF = HF .

E′
A
E
F′

F
H
O

B

D

C

D′
Figura 2

Demostraci´n. Por ejemplo, en el tri´ngulo BHD tenemos
o
a
∠BHD = ∠BF D = ∠C = ∠BCA = ∠BD A = ∠BD H.
En consecuencia, el tri´ngulo BHD es is´sceles, y su altura BD tambien es
a
o
su mediana, por lo que HD = HD .Propiedad 3. El tri´ngulo D E F es el resultado de aplicar al tri´ngulo
a
a
DEF una homotecia de centro H y raz´n 2.
o
Demostraci´n. Por ser HD = DD es HD = 2 · HD y lo mismo para los
o
otros v´rtices.
e
2

Propiedad 4. Cada v´rtice del tri´ngulo ABC es el punto medio del arco
e
a
determinado en la circunferencia circunscrita por las prolongaciones de las
alturas trazadas desde los otrosv´rtices.
e
Demostraci´n. Para obtener que A es el punto medio del arco E F basta
o
observar que por ser c´
ıclico el cuadril´tero BCEF , tenemos
a
∠ABE = ∠F BE = ∠F CE = ∠F CA.
Como consecuencia, obtenemos que la recta OA es perpendicular a la
cuerda E F y, por tanto, tambi´n es perpendicular al lado EF del tri´ngulo
e
a
´rtico.
o
Propiedad 5. El ´ngulo que forma el lado de untri´ngulo con el lado coa
a
rrespondiente del tri´ngulo ´rtico es igual a la diferencia de los lados del
a
o
tri´ngulo dado adyacentes al lado considerado.
a

A
A

O
O
B

D

C
A′
A′

D B

Figura 3

C
Figura 4

Demostraci´n. En efecto, cuando el tri´ngulo es acut´ngulo (ver Figura 3),
o
a
a
el ´ngulo formado por el lado BC con el lado EF del tri´ngulo ´rtico ser´ el
a
a
oa
mismo que el formado por la altura AD (perpendicular a BC) con el di´mea
tro AA (perpendicular a EF ). Por ser ∠ABD = ∠ABC = ∠AA C, los
tri´ngulos rect´ngulos ABD y AKC son semejantes, y entonces
a
a
∠DAA = A − 2(90◦ − B) = 180◦ − (B + C) − 180◦ + 2B = B − C.
En el caso de que, por ejemplo B sea obtus´ngulo, tenemos
a
∠DAA = A+2∠DAB = A+2(B−90◦) = (180◦ −B−C)+2B−180◦ = B−C.
3Propiedad 6. El tri´ngulo tangencial y el tri´ngulo ´rtico de un tri´ngulo
a
a
o
a
son homot´ticos.
e
Demostraci´n. El tri´ngulo tangencial es el tri´ngulo formado por las rectas
o
a
a
tangentes a la circunferencia circunscrita en los v´rtices del tri´ngulo. Seg´n
e
a
u
hemos visto, los lados del tri´ngulo ´rtico son perpendiculares a los corresa
o
pondientes radios de lacircunferencia circunscrita, y los lados del tri´ngulo
a
tangencial tambi´n lo son. De ah´ la propiedad.
e
ı,
Propiedad 7. Las alturas de un tri´ngulo bisecan los ´ngulos interiores del
a
a
tri´ngulo ´rtico.
a
o
Demostraci´n. En la Figura 2 vemos que la recta D A biseca el ´ngulo
o
a
E D F , y hemos visto que las rectas DE, DF son paralelas a D F , D E ,
as´ que la recta DA biseca el...